Номер 12, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (1) Для каждой из следующих функций определите наибольшее и наименьшее значения на отрезке $x \in [-1;2]$:

a) $f(x)=-x^3+x^2;$

б) $g(x)=-x^3+9x^2;$

в) $h(x)=-x^3+27x.$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом отрезке, необходимо вычислить значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных чисел самое большое и самое маленькое.

а) $f(x) = -x^3 + x^2$ на отрезке $x \in [-1, 2]$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-x^3 + x^2)' = -3x^2 + 2x$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$-3x^2 + 2x = 0$

$x(-3x + 2) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

3. Обе критические точки ($0$ и $\frac{2}{3}$) принадлежат отрезку $[-1, 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$f(-1) = -(-1)^3 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$

$f(2) = -(2)^3 + (2)^2 = -8 + 4 = -4$

$f(0) = -(0)^3 + (0)^2 = 0$

$f(\frac{2}{3}) = -(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} = -\frac{8}{27} + \frac{12}{27} = \frac{4}{27}$

5. Сравниваем полученные значения: $2$, $-4$, $0$ и $\frac{4}{27}$.

Наибольшее значение равно $2$, а наименьшее равно $-4$.

Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшее значение $-4$.

б) $g(x) = -x^3 + 9x^2$ на отрезке $x \in [-1, 2]$

1. Находим производную функции:

$g'(x) = (-x^3 + 9x^2)' = -3x^2 + 18x$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $g'(x) = 0$:

$-3x^2 + 18x = 0$

$-3x(x - 6) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

3. Из этих точек отрезку $[-1, 2]$ принадлежит только $x = 0$. Точка $x=6$ не принадлежит этому отрезку.

4. Вычисляем значения функции в точке $x=0$ и на концах отрезка:

$g(-1) = -(-1)^3 + 9(-1)^2 = 1 + 9 = 10$

$g(2) = -(2)^3 + 9(2)^2 = -8 + 9 \cdot 4 = -8 + 36 = 28$

$g(0) = -(0)^3 + 9(0)^2 = 0$

5. Сравниваем полученные значения: $10$, $28$ и $0$.

Наибольшее значение равно $28$, а наименьшее равно $0$.

Ответ: наибольшее значение $28$, наименьшее значение $0$.

в) $h(x) = -x^3 + 27x$ на отрезке $x \in [-1, 2]$

1. Находим производную функции:

$h'(x) = (-x^3 + 27x)' = -3x^2 + 27$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $h'(x) = 0$:

$-3x^2 + 27 = 0$

$3x^2 = 27$

$x^2 = 9$

Критические точки: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

3. Ни одна из критических точек ($3$ и $-3$) не принадлежит отрезку $[-1, 2]$.

4. Следовательно, функция на этом отрезке монотонна. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычисляем их:

$h(-1) = -(-1)^3 + 27(-1) = 1 - 27 = -26$

$h(2) = -(2)^3 + 27(2) = -8 + 54 = 46$

5. Сравниваем полученные значения: $-26$ и $46$.

Наибольшее значение равно $46$, а наименьшее равно $-26$.

Ответ: наибольшее значение $46$, наименьшее значение $-26$.