Номер 35, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

35.

(1) $f(x) = \sin x, x_0 = 0.$

(1)

Требуется найти разложение функции $f(x) = \sin(x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 0$. Поскольку разложение проводится в окрестности нуля, это частный случай ряда Тейлора, называемый рядом Маклорена.

Общая формула ряда Маклорена для бесконечно дифференцируемой функции $f(x)$ имеет вид:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

Для построения ряда необходимо найти значения производных функции $f(x) = \sin(x)$ в точке $x_0 = 0$.

Найдем несколько первых производных:

$f(x) = \sin(x)$

$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$

$f''(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$

$f'''(x) = (-\sin(x))' = -\cos(x)$

$f^{(4)}(x) = (-\cos(x))' = \sin(x)$

Видно, что производные повторяются с периодом 4.

Теперь вычислим значения функции и её производных в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(0) = \cos(0) = 1$

$f''(0) = -\sin(0) = 0$

$f'''(0) = -\cos(0) = -1$

$f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$

Таким образом, мы получили последовательность значений производных в точке ноль: $0, 1, 0, -1, 0, 1, \dots$. Все производные четного порядка ($f^{(2k)}(0)$) равны нулю, а производные нечетного порядка ($f^{(2k+1)}(0)$) принимают значения, чередующиеся по знаку: $1, -1, 1, \dots$, что можно записать как $(-1)^k$.

Подставим найденные значения коэффициентов в общую формулу ряда Маклорена:

$\sin(x) = \frac{0}{0!}x^0 + \frac{1}{1!}x^1 + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \dots$

Отбрасывая члены с нулевыми коэффициентами, получаем разложение функции $\sin(x)$ в степенной ряд:

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$

Этот ряд можно записать в компактной форме с использованием знака суммирования. Так как в разложении присутствуют только нечетные степени, общий член ряда имеет вид $\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$:

$\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

Ответ: Разложением функции $f(x) = \sin(x)$ в ряд в окрестности точки $x_0 = 0$ является ряд Маклорена: $\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$.