Страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой $y=2-x$ (25-26):

25. (2) $y=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2-x$

25. (2)

Чтобы найти касательную к графику функции $y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 - x$, параллельную прямой $y = 2 - x$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Определить требуемый угловой коэффициент касательной. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = 2 - x$ (представимой в виде $y = -1 \cdot x + 2$) равен $k = -1$. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также должен быть равен -1.

2. Найти производную данной функции. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$.
$y'(x) = \left(\frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 - x\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' + \frac{5}{2} \cdot (x^2)' - (x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{5}{2} \cdot 2x - 1 = x^2 + 5x - 1$.

3. Найти абсциссы точек касания. Для этого нужно решить уравнение $y'(x_0) = k$:
$x_0^2 + 5x_0 - 1 = -1$
$x_0^2 + 5x_0 = 0$
$x_0(x_0 + 5) = 0$
Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$. Это означает, что существуют две точки на графике функции, в которых касательная параллельна данной прямой.

4. Найти ординаты точек касания. Для этого подставим найденные значения $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение функции $y(x)$:
- Для $x_1 = 0$: $y_1 = \frac{0^3}{3} + \frac{5}{2}(0)^2 - 0 = 0$. Первая точка касания: $(0; 0)$.
- Для $x_2 = -5$: $y_2 = \frac{(-5)^3}{3} + \frac{5}{2}(-5)^2 - (-5) = -\frac{125}{3} + \frac{125}{2} + 5 = \frac{-250 + 375 + 30}{6} = \frac{155}{6}$. Вторая точка касания: $(-5; \frac{155}{6})$.

5. Составить уравнения касательных. Общее уравнение касательной имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.
- Для точки $(0; 0)$ и $k=-1$:
$y - 0 = -1(x - 0)$
$y = -x$
- Для точки $(-5; \frac{155}{6})$ и $k=-1$:
$y - \frac{155}{6} = -1(x - (-5))$
$y - \frac{155}{6} = -x - 5$
$y = -x - 5 + \frac{155}{6} = -x - \frac{30}{6} + \frac{155}{6} = -x + \frac{125}{6}$
Ответ: $y = -x$ и $y = -x + \frac{125}{6}$.

26.

(2) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - x$

Проведем полное исследование функции $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - x$ и построим ее график.

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:
Для нахождения точки пересечения с осью ординат, подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 0 = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

С осью Ox:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс, решим уравнение $y=0$:
$\frac{x^3}{3} + x^2 - x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(\frac{x^2}{3} + x - 1) = 0$
Отсюда получаем первый корень $x_1 = 0$.
Решим квадратное уравнение $\frac{x^2}{3} + x - 1 = 0$. Умножим обе части на 3:
$x^2 + 3x - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$.
Корни уравнения: $x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{21}}{2} \approx -3.79$, $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{21}}{2} \approx 0.79$.
Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$. Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$, $(\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}, 0)$, $(\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}, 0)$.

3. Четность и периодичность

Проверим функцию на четность: $y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} + (-x)^2 - (-x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + x$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида.
Функция не является периодической, так как является многочленом.
Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

4. Асимптоты графика

Вертикальные асимптоты:
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси.
Горизонтальные асимптоты:
Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} (\frac{x^3}{3} + x^2 - x) = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} (\frac{x^3}{3} + x^2 - x) = -\infty$
Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты:
Наклонные асимптоты ищутся в виде $y = kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{3} + x^2 - x}{x} = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{3} + x - 1) = \infty$.
Так как предел для $k$ равен бесконечности, наклонных асимптот нет.
Ответ: Асимптот нет.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$y' = (\frac{x^3}{3} + x^2 - x)' = x^2 + 2x - 1$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.
$x^2 + 2x - 1 = 0$
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8$
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
Критические точки: $x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.41$ и $x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.41$.
Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
- На интервале $(-\infty, -1-\sqrt{2})$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1-\sqrt{2}, -1+\sqrt{2})$: $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1+\sqrt{2}, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x = -1 - \sqrt{2}$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума.
В точке $x = -1 + \sqrt{2}$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума.
Найдем значения функции в точках экстремума:
$y_{max} = y(-1-\sqrt{2}) = \frac{(-1-\sqrt{2})^3}{3} + (-1-\sqrt{2})^2 - (-1-\sqrt{2}) = \frac{5+4\sqrt{2}}{3} \approx 3.55$.
$y_{min} = y(-1+\sqrt{2}) = \frac{(-1+\sqrt{2})^3}{3} + (-1+\sqrt{2})^2 - (-1+\sqrt{2}) = \frac{5-4\sqrt{2}}{3} \approx -0.22$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1-\sqrt{2}]$ и $[-1+\sqrt{2}, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1-\sqrt{2}, -1+\sqrt{2}]$. Точка максимума: $(-1-\sqrt{2}, \frac{5+4\sqrt{2}}{3})$. Точка минимума: $(-1+\sqrt{2}, \frac{5-4\sqrt{2}}{3})$.

6. Интервалы выпуклости/вогнутости и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$y'' = (x^2 + 2x - 1)' = 2x + 2$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $y''=0$.
$2x + 2 = 0 \implies x = -1$.
Определим знаки второй производной:
- При $x < -1$: $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- При $x > -1$: $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
Так как в точке $x = -1$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба.
Найдем значение функции в точке перегиба:
$y(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 - (-1) = -\frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{5}{3} \approx 1.67$.

Ответ: График функции выпуклый вверх на промежутке $(-\infty, -1]$ и выпуклый вниз на промежутке $[-1, +\infty)$. Точка перегиба имеет координаты $(-1, \frac{5}{3})$.

7. Построение графика

Сведем полученные данные в таблицу:

Основываясь на проведенном исследовании, можно построить график функции. График представляет собой кубическую параболу, которая начинается в $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-2.41, 3.55)$, затем убывает, проходя через точку перегиба $(-1, 1.67)$ и точку начала координат $(0,0)$, достигает минимума в точке $(0.41, -0.22)$, после чего снова возрастает и уходит в $+\infty$. График пересекает ось абсцисс в трех точках: $x \approx -3.79$, $x=0$ и $x \approx 0.79$.
Ответ: Полное исследование функции проведено, ключевые точки и интервалы поведения функции найдены, что позволяет построить ее график.

Через точку пересечения графиков функции $y=\frac{6}{\sqrt{x}}$ и $y=12x^{-\frac{1}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}$ проведена касательная к каждому графику. Найдите разность углов, образованных этими касательными с положительным направлением оси $Ox$.

Для решения задачи сначала найдем точку пересечения графиков двух функций: $y_1 = \frac{6}{\sqrt{x}}$ и $y_2 = 12x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}}$. Для этого приравняем их выражения.

Заметим, что $\frac{6}{\sqrt{x}}$ можно записать как $6x^{-\frac{1}{2}}$. Тогда уравнение для нахождения абсциссы точки пересечения $x_0$ будет выглядеть так:$6x^{-\frac{1}{2}} = 12x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}}$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать подобные члены:$2x^{\frac{1}{2}} = 12x^{-\frac{1}{2}} - 6x^{-\frac{1}{2}}$$2x^{\frac{1}{2}} = 6x^{-\frac{1}{2}}$

Представим степени в виде корней:$2\sqrt{x} = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Область определения обеих функций $x > 0$, поэтому мы можем умножить обе части уравнения на $\sqrt{x}$:$2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = 6$$2x = 6$$x_0 = 3$

Итак, графики функций пересекаются в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

Угол, который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси Ox, определяется тангенсом этого угла, который, в свою очередь, равен значению производной функции в точке касания. Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — это углы, образованные касательными к графикам функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ соответственно. Тогда их тангенсы равны $k_1 = \tan(\alpha_1) = y_1'(x_0)$ и $k_2 = \tan(\alpha_2) = y_2'(x_0)$. Нам нужно найти разность этих углов, то есть $|\alpha_1 - \alpha_2|$.

Найдем производные заданных функций.Для первой функции $y_1(x) = 6x^{-\frac{1}{2}}$:$y_1'(x) = 6 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = -3x^{-\frac{3}{2}}$

Для второй функции $y_2(x) = 12x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}}$:$y_2'(x) = 12 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} - 2 \cdot (\frac{1}{2})x^{\frac{1}{2}-1} = -6x^{-\frac{3}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$

Теперь вычислим значения производных в точке $x_0 = 3$:$k_1 = y_1'(3) = -3 \cdot 3^{-\frac{3}{2}} = -3 \cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = -3 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$k_2 = y_2'(3) = -6 \cdot 3^{-\frac{3}{2}} - 3^{-\frac{1}{2}} = -6 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$

Мы нашли угловые коэффициенты (тангенсы углов наклона) касательных: $\tan(\alpha_1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\tan(\alpha_2) = -\sqrt{3}$.Разность углов $\Delta\alpha = \alpha_1 - \alpha_2$ можно найти, используя формулу тангенса разности:$\tan(\Delta\alpha) = \tan(|\alpha_1 - \alpha_2|) = \left|\frac{\tan(\alpha_1) - \tan(\alpha_2)}{1 + \tan(\alpha_1)\tan(\alpha_2)}\right|$

Подставим найденные значения $k_1$ и $k_2$:$\tan(\Delta\alpha) = \left|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3} - (-\sqrt{3})}{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{3})(-\sqrt{3})}\right| = \left|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 + \frac{3}{3}}\right| = \left|\frac{\frac{- \sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{3}}{1 + 1}\right| = \left|\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}\right| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, тангенс разности углов равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это соответствует углу, равному $\frac{\pi}{6}$ радиан или $30^\circ$.$\Delta\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Это и есть искомая разность углов.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

28. (3) В точке M(1;8) к кривой $y = \sqrt{(5 - x^{-2/3})^3}$ проведена касательная.

Найдите длину ее отрезка, заключенного между осями координат.

Для того чтобы найти длину отрезка касательной, заключенного между осями координат, сначала необходимо составить уравнение этой касательной. Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке $M(x_0; y_0)$ следующий: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.

В условии задачи дана кривая $y = \sqrt{(5 - x^{2/3})^3}$ и точка касания $M(1; 8)$.

Первым шагом проверим, действительно ли точка $M(1; 8)$ лежит на данной кривой. Для этого подставим координату $x=1$ в уравнение кривой:$y(1) = \sqrt{(5 - 1^{2/3})^3} = \sqrt{(5 - 1)^3} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$.Поскольку вычисленное значение совпадает с координатой $y$ точки $M$, точка принадлежит кривой.

Вторым шагом найдем производную функции $y(x)$. Удобнее представить функцию в виде степени: $y = (5 - x^{2/3})^{3/2}$.Используем правило дифференцирования сложной функции:$y' = \frac{3}{2}(5 - x^{2/3})^{\frac{3}{2}-1} \cdot (5 - x^{2/3})' = \frac{3}{2}(5 - x^{2/3})^{\frac{1}{2}} \cdot (-\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}) = -(5 - x^{2/3})^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{3}}$.Таким образом, производная равна $y' = -\frac{\sqrt{5 - x^{2/3}}}{\sqrt[3]{x}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 1$. Это значение будет равно угловому коэффициенту $k$ касательной.$k = y'(1) = -\frac{\sqrt{5 - 1^{2/3}}}{\sqrt[3]{1}} = -\frac{\sqrt{5 - 1}}{1} = -\sqrt{4} = -2$.

Подставим координаты точки $M(1; 8)$ и найденный угловой коэффициент $k=-2$ в общее уравнение касательной:$y - 8 = -2(x - 1)$
$y - 8 = -2x + 2$
$y = -2x + 10$.

Далее найдем точки пересечения этой касательной с осями координат.Для нахождения точки пересечения с осью ординат (OY), положим $x=0$:$y = -2(0) + 10 = 10$.Точка пересечения с осью OY имеет координаты $A(0; 10)$.

Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (OX), положим $y=0$:$0 = -2x + 10$
$2x = 10$
$x = 5$.Точка пересечения с осью OX имеет координаты $B(5; 0)$.

Наконец, найдем длину отрезка $AB$, используя формулу расстояния между двумя точками $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:$L = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 10)^2} = \sqrt{5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125}$.Упростим результат: $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{5}$.

29. (3) Найти площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к кривой $y=\sqrt{x^2-5}$ в точке $M(3; 2)$.

Для нахождения площади треугольника необходимо выполнить три шага: найти уравнения прямых, образующих этот треугольник, определить координаты его вершин (точек пересечения этих прямых) и, наконец, вычислить площадь по координатам вершин.

1. Определение уравнений прямых.

Треугольник образован тремя прямыми: двумя биссектрисами координатных углов и касательной к кривой.

а) Биссектрисы координатных углов.
Биссектриса I и III координатных четвертей имеет уравнение $y = x$.
Биссектриса II и IV координатных четвертей имеет уравнение $y = -x$.

б) Касательная к кривой.
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
В данном случае функция $f(x) = \sqrt{x^2 - 5}$, а точка касания $M(3; 2)$.
Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 5})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5}} \cdot (x^2 - 5)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 5}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 5}}$.
Затем вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:
$k = f'(3) = \frac{3}{\sqrt{3^2 - 5}} = \frac{3}{\sqrt{9 - 5}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
Теперь подставим координаты точки $M(3; 2)$ и значение углового коэффициента $k = \frac{3}{2}$ в уравнение касательной:
$y - 2 = \frac{3}{2}(x - 3)$.
Преобразуем уравнение к общему виду:
$2(y - 2) = 3(x - 3)$
$2y - 4 = 3x - 9$
$3x - 2y - 5 = 0$.
Или к виду с угловым коэффициентом: $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$.

2. Нахождение вершин треугольника.

Вершины треугольника являются точками пересечения найденных прямых.

а) Вершина A — точка пересечения биссектрис $y=x$ и $y=-x$.
$x = -x \implies 2x = 0 \implies x=0$. Тогда и $y=0$.
Координаты вершины A: $(0; 0)$.

б) Вершина B — точка пересечения биссектрисы $y=x$ и касательной $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$.
$x = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$
$2x = 3x - 5$
$x = 5$. Так как $y=x$, то $y=5$.
Координаты вершины B: $(5; 5)$.

в) Вершина C — точка пересечения биссектрисы $y=-x$ и касательной $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$.
$-x = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$
$-2x = 3x - 5$
$5 = 5x \implies x=1$. Так как $y=-x$, то $y=-1$.
Координаты вершины C: $(1; -1)$.

3. Вычисление площади треугольника.

Площадь треугольника с вершинами в точках $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|$.
Поскольку вершина A находится в начале координат $(0; 0)$, формула упрощается:
$S = \frac{1}{2} |x_B y_C - x_C y_B|$.
Подставим координаты вершин $B(5; 5)$ и $C(1; -1)$:
$S = \frac{1}{2} |(5)(-1) - (1)(5)| = \frac{1}{2} |-5 - 5| = \frac{1}{2} |-10| = \frac{10}{2} = 5$.

Ответ: 5.

30. (3) К гиперболе $y = \frac{4}{x}$ проведены касательные: одна - в точке $M(2; 2)$, а другая – параллельно прямой $y = -4x$. Найдите площади треугольников, образованных каждой из этих касательных с осями координат.

Для решения задачи найдем уравнения двух указанных касательных к гиперболе $y = \frac{4}{x}$, а затем для каждой из них вычислим площадь треугольника, который она образует с осями координат.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{4}{x}$:
$f'(x) = \left(\frac{4}{x}\right)' = (4x^{-1})' = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$.

касательная в точке M(2; 2)

1. Точка касания задана, ее абсцисса $x_0 = 2$. Значение функции в этой точке $f(2) = \frac{4}{2} = 2$, что соответствует координатам точки M.
2. Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке $x_0 = 2$:
$k_1 = f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -\frac{4}{4} = -1$.
3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$
$y = 2 + (-1)(x - 2)$
$y = 2 - x + 2$
$y = -x + 4$.
4. Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат, чтобы определить катеты треугольника.
При $x = 0$, $y = -0 + 4 = 4$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.
При $y = 0$, $0 = -x + 4$, откуда $x = 4$. Точка пересечения с осью Ox: $(4, 0)$.
5. Треугольник, образованный касательной и осями координат, — прямоугольный. Длины его катетов равны 4 и 4.
Площадь первого треугольника $S_1$ равна:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Ответ: 8.

касательная, параллельная прямой y = -4x

1. Если касательная параллельна прямой $y = -4x$, то их угловые коэффициенты равны. Таким образом, угловой коэффициент касательной $k_2 = -4$.
2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв значение производной к угловому коэффициенту $k_2$:
$f'(x_0) = -4$
$-\frac{4}{x_0^2} = -4$
$x_0^2 = 1$
Отсюда $x_0 = 1$ или $x_0 = -1$.Существуют две касательные, параллельные данной прямой. Площади образованных ими треугольников будут одинаковы, поэтому достаточно рассмотреть один случай, например, $x_0 = 1$.
3. Найдем ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \frac{4}{1} = 4$. Точка касания — $(1, 4)$.
4. Составим уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 4 + (-4)(x - 1)$
$y = 4 - 4x + 4$
$y = -4x + 8$.
5. Найдем точки пересечения этой касательной с осями координат:
При $x = 0$, $y = -4(0) + 8 = 8$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 8)$.
При $y = 0$, $0 = -4x + 8$, откуда $4x = 8$, $x = 2$. Точка пересечения с осью Ox: $(2, 0)$.
6. Треугольник, образованный этой касательной и осями координат, — прямоугольный. Длины его катетов равны 8 и 2.
Площадь второго треугольника $S_2$ равна:
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$.

Ответ: 8.

31. (3) Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции $y=\cos x$: первая в точке на графике с абсциссой $x=-\frac{\pi}{6}$, а вторая – в точке с абсциссой $x=\frac{7\pi}{6}$.

31. (3)

Чтобы найти координаты точки пересечения двух касательных, сначала найдем уравнения этих касательных.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = \cos x$. Найдем ее производную:$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

1. Найдем уравнение первой касательной в точке $x_1 = \frac{\pi}{6}$.

Найдем значение функции и ее производной в этой точке:
$f(x_1) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f'(x_1) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2})(x - \frac{\pi}{6})$
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12}$

2. Найдем уравнение второй касательной в точке $x_2 = \frac{7\pi}{6}$.

Найдем значение функции и ее производной в этой точке:
$f(x_2) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$f'(x_2) = -\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение касательной:
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}(x - \frac{7\pi}{6})$
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}x - \frac{7\pi}{12}$

3. Найдем точку пересечения касательных.

Для этого приравняем правые части уравнений двух касательных:
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}x - \frac{7\pi}{12}$

Соберем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а остальные — в другой:
$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x$
$\sqrt{3} + \frac{8\pi}{12} = x$
$x = \sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}$

Теперь найдем координату $y$, подставив найденное значение $x$ в уравнение любой из касательных. Воспользуемся уравнением второй касательной:
$y = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$
$y = \frac{\pi}{3} - \frac{7\pi}{12}$
$y = \frac{4\pi}{12} - \frac{7\pi}{12} = -\frac{3\pi}{12} = -\frac{\pi}{4}$

Таким образом, координаты точки пересечения касательных: $(\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{4})$.

Ответ: $(\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{4})$

32. (3) Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции $y=\frac{3x+1}{2x-1}$: первая в точке на графике с абсциссой $x=-1$, а вторая - в точке с абсциссой $x=3$.

Для нахождения координат точки пересечения двух касательных необходимо сначала найти уравнения этих касательных. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет общий вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \frac{3x+1}{2x-1}$.

Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:$f'(x) = \frac{(3x+1)'(2x-1) - (3x+1)(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{3(2x-1) - (3x+1) \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{6x-3 - 6x-2}{(2x-1)^2} = \frac{-5}{(2x-1)^2}$.

Уравнение первой касательной в точке с абсциссой $x_0 = -1$

Найдем значение функции в этой точке:$f(-1) = \frac{3(-1)+1}{2(-1)-1} = \frac{-3+1}{-2-1} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$.

Найдем значение производной (угловой коэффициент касательной) в этой точке:$f'(-1) = \frac{-5}{(2(-1)-1)^2} = \frac{-5}{(-3)^2} = -\frac{5}{9}$.

Теперь составим уравнение первой касательной:$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$$y = \frac{2}{3} - \frac{5}{9}(x+1)$$y = \frac{2}{3} - \frac{5}{9}x - \frac{5}{9}$$y = -\frac{5}{9}x + \frac{6-5}{9}$$y_1 = -\frac{5}{9}x + \frac{1}{9}$.

Уравнение второй касательной в точке с абсциссой $x_0 = 3$

Найдем значение функции в этой точке:$f(3) = \frac{3(3)+1}{2(3)-1} = \frac{9+1}{6-1} = \frac{10}{5} = 2$.

Найдем значение производной в этой точке:$f'(3) = \frac{-5}{(2(3)-1)^2} = \frac{-5}{(5)^2} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$.

Теперь составим уравнение второй касательной:$y = f(3) + f'(3)(x - 3)$$y = 2 - \frac{1}{5}(x-3)$$y = 2 - \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$$y = -\frac{1}{5}x + \frac{10}{5} + \frac{3}{5}$$y_2 = -\frac{1}{5}x + \frac{13}{5}$.

Координаты точки пересечения касательных

Чтобы найти точку пересечения, приравняем правые части уравнений касательных $y_1$ и $y_2$:$-\frac{5}{9}x + \frac{1}{9} = -\frac{1}{5}x + \frac{13}{5}$.

Для избавления от дробей умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 9 и 5, то есть на 45:$45 \cdot (-\frac{5}{9}x + \frac{1}{9}) = 45 \cdot (-\frac{1}{5}x + \frac{13}{5})$$5 \cdot (-5x) + 5 \cdot 1 = 9 \cdot (-x) + 9 \cdot 13$$-25x + 5 = -9x + 117$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:$25x - 9x = 5 - 117$$16x = -112$$x = \frac{-112}{16} = -7$.

Теперь найдем координату $y$, подставив $x = -7$ в уравнение любой из касательных, например, в первое:$y = -\frac{5}{9}(-7) + \frac{1}{9} = \frac{35}{9} + \frac{1}{9} = \frac{36}{9} = 4$.

Таким образом, точка пересечения двух касательных имеет координаты $(-7, 4)$.

Ответ: $(-7, 4)$.

Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсцис-

сой $x_0$ (33-37):

33. (1) $f(x) = x^4 - 2x^2$, $x_0 = 0,5$.

(1)

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = x^4 - 2x^2$ и точки $x_0 = 0,5$ выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке $x_0$. Для удобства вычислений представим $x_0 = 0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$.

$f(x_0) = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^4 - 2(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} - \frac{2}{4} = \frac{1}{16} - \frac{8}{16} = -\frac{7}{16}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.

$f'(x_0) = f'(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^3 - 4(\frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{8} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = -\frac{7}{16}$, $f'(x_0) = -\frac{3}{2}$ и $x_0 = \frac{1}{2}$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = -\frac{7}{16} + (-\frac{3}{2}) \cdot (x - \frac{1}{2})$.

5. Упростим полученное уравнение:

$y = -\frac{7}{16} - \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x - \frac{7}{16} + \frac{3}{4}$

Приведем свободные члены к общему знаменателю 16:

$y = -\frac{3}{2}x - \frac{7}{16} + \frac{12}{16}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{16}$.

Это и есть искомое уравнение касательной. Его также можно записать в виде $y = -1,5x + 0,3125$.

Ответ: $y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{16}$.

34.

(1) $f(x)=\cos^2 x, x_0 = \frac{\pi}{4}$.

(1)

Поскольку в условии задачи не указано конкретное действие, которое необходимо выполнить с функцией и точкой, будем решать наиболее стандартную для такого случая задачу: нахождение уравнения касательной к графику функции $f(x) = \cos^2 x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для составления уравнения последовательно найдем все его компоненты.

1. Вычислим значение функции $f(x)$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \cos^2(\frac{\pi}{4})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем производную функции $f(x) = \cos^2 x$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом):
$f'(x) = (\cos^2 x)' = 2 \cos x \cdot (\cos x)' = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$, можно упростить выражение для производной:
$f'(x) = -\sin(2x)$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{4}) = -\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -1$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = \frac{1}{2}$, $f'(x_0) = -1$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = \frac{1}{2} + (-1) \cdot (x - \frac{\pi}{4})$.

5. Упростим полученное выражение, чтобы получить окончательный вид уравнения:
$y = \frac{1}{2} - x + \frac{\pi}{4}$.
$y = -x + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = -x + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.

35.

(1) $f(x) = \sin x, x_0 = 0.$

(1)

Требуется найти разложение функции $f(x) = \sin(x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 0$. Поскольку разложение проводится в окрестности нуля, это частный случай ряда Тейлора, называемый рядом Маклорена.

Общая формула ряда Маклорена для бесконечно дифференцируемой функции $f(x)$ имеет вид:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

Для построения ряда необходимо найти значения производных функции $f(x) = \sin(x)$ в точке $x_0 = 0$.

Найдем несколько первых производных:

$f(x) = \sin(x)$

$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$

$f''(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$

$f'''(x) = (-\sin(x))' = -\cos(x)$

$f^{(4)}(x) = (-\cos(x))' = \sin(x)$

Видно, что производные повторяются с периодом 4.

Теперь вычислим значения функции и её производных в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(0) = \cos(0) = 1$

$f''(0) = -\sin(0) = 0$

$f'''(0) = -\cos(0) = -1$

$f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$

Таким образом, мы получили последовательность значений производных в точке ноль: $0, 1, 0, -1, 0, 1, \dots$. Все производные четного порядка ($f^{(2k)}(0)$) равны нулю, а производные нечетного порядка ($f^{(2k+1)}(0)$) принимают значения, чередующиеся по знаку: $1, -1, 1, \dots$, что можно записать как $(-1)^k$.

Подставим найденные значения коэффициентов в общую формулу ряда Маклорена:

$\sin(x) = \frac{0}{0!}x^0 + \frac{1}{1!}x^1 + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \dots$

Отбрасывая члены с нулевыми коэффициентами, получаем разложение функции $\sin(x)$ в степенной ряд:

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$

Этот ряд можно записать в компактной форме с использованием знака суммирования. Так как в разложении присутствуют только нечетные степени, общий член ряда имеет вид $\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$:

$\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

Ответ: Разложением функции $f(x) = \sin(x)$ в ряд в окрестности точки $x_0 = 0$ является ряд Маклорена: $\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$.

36. (1) $f(x) = \sqrt{4-5x}, x_0 = 0.$

(1) Поскольку в задаче даны функция и точка, наиболее вероятная задача — найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4-5x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$.
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ задается формулой:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем все необходимые компоненты для этой формулы.

1. Вычисление значения функции в точке $x_0 = 0$.
$f(x_0) = f(0) = \sqrt{4 - 5 \cdot 0} = \sqrt{4} = 2$.

2. Нахождение производной функции $f(x)$.
Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):
$f'(x) = (\sqrt{4-5x})' = \frac{1}{2\sqrt{4-5x}} \cdot (4-5x)' = \frac{1}{2\sqrt{4-5x}} \cdot (-5) = -\frac{5}{2\sqrt{4-5x}}$.

3. Вычисление значения производной в точке $x_0 = 0$.
Это значение является угловым коэффициентом касательной.
$f'(x_0) = f'(0) = -\frac{5}{2\sqrt{4 - 5 \cdot 0}} = -\frac{5}{2\sqrt{4}} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4}$.

4. Составление уравнения касательной.
Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=2$ и $f'(x_0)=-\frac{5}{4}$ в общую формулу:
$y = 2 + (-\frac{5}{4})(x - 0)$
$y = 2 - \frac{5}{4}x$.

Ответ: $y = 2 - \frac{5}{4}x$.

37. (1) $f(x) = \sqrt{x+1}$, $x_0 = 4$.

(1)

В данной задаче требуется найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ в точке с абсциссой $x_0 = 4$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для нахождения уравнения выполним следующие действия:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:

$f(x_0) = f(4) = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$

Таким образом, касательная проходит через точку с координатами $(4, \sqrt{5})$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Функцию можно представить в виде $f(x) = (x+1)^{\frac{1}{2}}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции и сложной функции, получаем:

$f'(x) = (\sqrt{x+1})' = ((x+1)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+1)' = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 4$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной.

$k = f'(x_0) = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4+1}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$

4. Теперь подставим найденные значения $x_0 = 4$, $f(x_0) = \sqrt{5}$ и $f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = \sqrt{5} + \frac{1}{2\sqrt{5}}(x - 4)$

5. Упростим полученное уравнение, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$.

$y = \sqrt{5} + \frac{x}{2\sqrt{5}} - \frac{4}{2\sqrt{5}} = \sqrt{5} + \frac{x}{2\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Сгруппируем слагаемые:

$y = \frac{x}{2\sqrt{5}} + \left(\sqrt{5} - \frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

Приведем свободные члены к общему знаменателю:

$\sqrt{5} - \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5})^2}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{5 - 2}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Итак, уравнение касательной:

$y = \frac{x}{2\sqrt{5}} + \frac{3}{\sqrt{5}}$

Для более стандартной формы записи избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дробей на $\sqrt{5}$:

$y = \frac{x \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} + \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5}x + \frac{3\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{10}x + \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $y = \frac{\sqrt{5}}{10}x + \frac{3\sqrt{5}}{5}$