Страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

12. (1) Постройте графики функций на одной плоскости:

а) $y=-x$;

б) $y=-x-3$;

в) $y=|-x-3|$;

г) $y=|x+3|-5$;

д) $y=||x+3|-5||$;

е) $y=||-x+3|-5||$;

ж) $y=||3-|x|-5||$. По графику ж) сделайте исследование функции.

а) Функция $y=-x$. Это линейная функция, её график — прямая линия, которая проходит через начало координат (0,0) и точку (1,-1). Она является биссектрисой II и IV координатных четвертей.
Ответ: График функции $y=-x$ — это прямая, проходящая через точки (0,0) и (1,-1).

б) Функция $y=-x-3$. График этой функции получается из графика функции $y=-x$ (из пункта а) путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на 3 единицы вниз. Прямая будет проходить через точки (0, -3) и (-3, 0).
Ответ: График функции $y=-x-3$ — это прямая, полученная сдвигом прямой $y=-x$ на 3 единицы вниз.

в) Функция $y=|-x-3|$. Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, можем переписать функцию как $y=|-(x+3)|=|x+3|$. График этой функции получается из графика базовой функции $y=|x|$ (график в виде "галочки" с вершиной в начале координат) путем сдвига на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина графика окажется в точке (-3, 0).
Альтернативно, график $y=|-x-3|$ можно получить из графика $y=-x-3$ (из пункта б), отразив ту часть графика, которая лежит ниже оси Ox, симметрично относительно оси Ox.
Ответ: График функции $y=|-x-3|$ эквивалентен графику $y=|x+3|$, который представляет собой график $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы влево.

г) Функция $y=|x+3|-5$. График этой функции получается из графика функции $y=|x+3|$ (из пункта в) путем сдвига на 5 единиц вниз вдоль оси Oy. Вершина графика сместится из точки (-3, 0) в точку (-3, -5).
Ответ: График функции $y=|x+3|-5$ — это график $y=|x+3|$, сдвинутый на 5 единиц вниз.

д) Функция $y=||x+3|-5|$. График этой функции получается из графика функции $y=|x+3|-5$ (из пункта г) путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений. Вершина в точке (-3, -5) отразится в точку (-3, 5).
Ответ: График функции $y=||x+3|-5|$ получается из графика $y=|x+3|-5$ отражением его отрицательной части ($y<0$) относительно оси Ox.

е) Функция $y=|-|x+3|-5|$. Проанализируем выражение под внешним модулем. Так как $|x+3| \ge 0$, то $-|x+3| \le 0$. Следовательно, выражение $-|x+3|-5$ всегда отрицательно (его значение не превышает -5). По определению модуля, $|a|=-a$ для $a \le 0$. Таким образом, $y = -(-|x+3|-5) = |x+3|+5$.
График этой функции получается из графика $y=|x+3|$ (из пункта в) сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси Oy. Вершина будет в точке (-3, 5).
Ответ: График функции $y=|-|x+3|-5|$ совпадает с графиком функции $y=|x+3|+5$, который получается сдвигом графика $y=|x+3|$ на 5 единиц вверх.

ж) Построим график функции $y=||3-|x||-5|$ и проведем его исследование. Построение будем выполнять последовательно, используя преобразования графиков:
1. $y=|x|$ — базовый график, "галочка" с вершиной в (0,0).
2. $y=-|x|$ — график $y=|x|$, отраженный симметрично относительно оси Ox. "Галочка", перевернутая вниз.
3. $y=3-|x|$ — график $y=-|x|$, сдвинутый на 3 единицы вверх по оси Oy. Вершина в точке (0,3).
4. $y=|3-|x||$ — часть графика $y=3-|x|$, лежащая ниже оси Ox (при $|x|>3$), отражается симметрично относительно оси Ox. Получается график в форме буквы "W" с пиком в (0,3) и изломами в точках (-3,0) и (3,0).
5. $y=|3-|x||-5$ — график $y=|3-|x||$, сдвинутый на 5 единиц вниз по оси Oy. Пик "W" смещается в (0,-2), а точки излома в (-3,-5) и (3,-5).
6. $y=||3-|x||-5|$ — итоговый график. Часть графика $y=|3-|x||-5$, лежащая ниже оси Ox, отражается симметрично относительно этой оси. Точки пересечения с осью Ox ($x=\pm8$) остаются на месте. Точка (0,-2) переходит в (0,2). Точки (-3,-5) и (3,-5) переходят в пики (3,5) и (-3,5).

Исследование функции $y=||3-|x||-5|$ по графику:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как выражение определено для любого действительного $x$.
2. Область значений: Функция является модулем, поэтому её значения неотрицательны. Минимальное значение равно 0. Максимального значения нет. $E(y) = [0, +\infty)$.
3. Четность: $y(-x) = ||3-|-x||-5| = ||3-|x||-5| = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.
4. Нули функции: $y=0$ при $||3-|x||-5|=0 \implies |3-|x||=5$. Это уравнение равносильно совокупности $3-|x|=5$ (что дает $|x|=-2$, нет решений) и $3-|x|=-5$ (что дает $|x|=8$). Нули функции: $x=-8$ и $x=8$.
5. Промежутки знакопостоянства: Так как $y \ge 0$ для всех $x$, то $y>0$ при $x \in (-\infty, -8) \cup (-8, 8) \cup (8, +\infty)$.
6. Промежутки монотонности:
• Функция возрастает на промежутках $[-8, -3]$, $[0, 3]$ и $[8, +\infty)$.
• Функция убывает на промежутках $(-\infty, -8]$, $[-3, 0]$ и $[3, 8]$.
7. Экстремумы:
• Точки локального минимума: $x_{min}=-8$, $x_{min}=0$, $x_{min}=8$.
Значения в точках минимума: $y(\pm8)=0$, $y(0)=2$.
• Точки локального максимума: $x_{max}=-3$, $x_{max}=3$.
Значения в точках максимума: $y(\pm3)=5$.
• Наименьшее значение функции равно 0 (достигается в точках $x=\pm8$).
• Наибольшего значения функция не имеет.

Ответ: График функции $y=||3-|x||-5|$ строится последовательными преобразованиями. Свойства функции: $D(y)=(-\infty, +\infty)$, $E(y)=[0, +\infty)$, функция четная, нули $x=\pm8$, возрастает на $[-8, -3]\cup[0, 3]\cup[8, \infty)$, убывает на $(-\infty, -8]\cup[-3, 0]\cup[3, 8]$, локальные минимумы в точках $x=0$ (значение 2) и $x=\pm8$ (значение 0), локальные максимумы в точках $x=\pm3$ (значение 5).

13. (2) Постройте графики функций:

a) $y = -\frac{2}{x+3}$, $y = -\frac{2}{|x|+3}$;

б) $y = \frac{3-2x}{x-4}$, $y = \left|\frac{3-2x}{x-4}\right|$;

в) $y = \frac{6-2x}{x}$, $y = \left|\frac{6-2|x|}{|x|}\right|$.

а)

1. Построим график функции $y = \frac{2}{x+3}$.

Это график стандартной гиперболы $y = \frac{2}{x}$ (ветви которой расположены в I и III координатных четвертях), сдвинутый на 3 единицы влево вдоль оси Ox.
Вертикальная асимптота графика находится там, где знаменатель обращается в ноль: $x+3=0$, то есть $x=-3$.
Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как при стремлении $x$ к бесконечности значение дроби стремится к нулю.
Для точности построения найдем несколько точек:
Если $x=-1$, то $y = \frac{2}{-1+3} = 1$.
Если $x=-2$, то $y = \frac{2}{-2+3} = 2$.
Если $x=-4$, то $y = \frac{2}{-4+3} = -2$.
Если $x=-5$, то $y = \frac{2}{-5+3} = -1$.

2. Построим график функции $y = \frac{2}{|x|+3}$.

Для построения этого графика можно использовать преобразование $y=f(|x|)$ из графика $y=f(x)$, где $f(x) = \frac{2}{x+3}$. Правило преобразования: часть графика $y=f(x)$ для $x \ge 0$ сохраняется, а часть графика для $x < 0$ отбрасывается; вместо нее строится изображение сохраненной части, симметричное ей относительно оси Oy.
Рассмотрим функцию: она является четной, так как $y(-x) = \frac{2}{|-x|+3} = \frac{2}{|x|+3} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \frac{2}{x+3}$. Это часть графика первой функции, расположенная в правой полуплоскости ($x \ge 0$).
Вертикальных асимптот нет, так как знаменатель $|x|+3$ всегда положителен (так как $|x| \ge 0$, то $|x|+3 \ge 3$).
Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
Максимальное значение функция достигает при $x=0$, $y(0) = \frac{2}{0+3} = \frac{2}{3}$. Это точка "перелома" графика на оси Oy.
Таким образом, мы строим ветвь графика $y = \frac{2}{x+3}$ для $x \ge 0$ и затем симметрично отражаем ее относительно оси Oy.

Ответ: График $y = \frac{2}{x+3}$ — это гипербола с асимптотами $x=-3$ и $y=0$. График $y = \frac{2}{|x|+3}$ — симметричная относительно оси Oy кривая, полученная из части графика $y = \frac{2}{x+3}$ для $x \ge 0$ и ее зеркального отражения. Эта кривая имеет максимум в точке $(0, 2/3)$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

б)

1. Построим график функции $y = \frac{3-2x}{x-4}$.

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для определения ее параметров выделим целую часть:
$y = \frac{-2x+3}{x-4} = \frac{-2(x-4) - 8 + 3}{x-4} = \frac{-2(x-4)}{x-4} - \frac{5}{x-4} = -2 - \frac{5}{x-4}$.
График этой функции получается из графика $y = -\frac{5}{x}$ (гипербола во II и IV четвертях) путем сдвига на 4 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $x-4=0 \Rightarrow x=4$.
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.
Найдем точки пересечения с осями:
С осью Ox ($y=0$): $\frac{3-2x}{x-4}=0 \Rightarrow 3-2x=0 \Rightarrow x=1.5$. Точка $(1.5, 0)$.
С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{3-0}{0-4} = -0.75$. Точка $(0, -0.75)$.

2. Построим график функции $y = \left|\frac{3-2x}{x-4}\right|$.

Этот график получается из графика функции $y = \frac{3-2x}{x-4}$ по правилу построения $y=|f(x)|$: часть графика, где $y \ge 0$, остается без изменений, а часть, где $y < 0$, симметрично отражается относительно оси Ox.
Из анализа первой функции знаем, что $y \ge 0$ при $x \in [1.5, 4)$. На этом промежутке график сохраняется.
На промежутках $(-\infty, 1.5)$ и $(4, +\infty)$ значения $y$ отрицательны, поэтому эти части графика отражаются вверх.
Вертикальная асимптота $x=4$ сохраняется.
Горизонтальная асимптота $y=-2$ после отражения становится $y=2$.
Точка $(0, -0.75)$ переходит в точку $(0, 0.75)$. Точка $(1.5, 0)$ остается на месте и становится точкой минимума.

Ответ: График $y = \frac{3-2x}{x-4}$ — это гипербола с асимптотами $x=4$ и $y=-2$. График $y = \left|\frac{3-2x}{x-4}\right|$ получается из первого отражением его отрицательной ($y<0$) части относительно оси Ox. Асимптоты итогового графика: $x=4$ (вертикальная) и $y=2$ (горизонтальная). Область значений $E(y)=[0, +\infty)$.

в)

1. Построим график функции $y = \frac{6-2x}{x}$.

Упростим выражение, разделив почленно: $y = \frac{6}{x} - \frac{2x}{x} = \frac{6}{x} - 2$.
Это график гиперболы $y = \frac{6}{x}$ (ветви в I и III четвертях), сдвинутый на 2 единицы вниз по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy).
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.
Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $\frac{6}{x}-2=0 \Rightarrow \frac{6}{x}=2 \Rightarrow x=3$. Точка $(3, 0)$.

2. Построим график функции $y = \left|\frac{6-2|x|}{|x|}\right|$.

Построение можно разбить на два этапа преобразований.
Шаг 1: Построим график $y_1 = \frac{6-2|x|}{|x|}$. Это преобразование вида $f(|x|)$ от функции $f(x) = \frac{6-2x}{x}$. Для этого берем часть графика $y = \frac{6-2x}{x}$ при $x>0$ (правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=0, y=-2$, пересекающая ось Ox в точке $(3,0)$) и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получим график, симметричный относительно оси Oy, с двумя ветвями, пересекающими ось Ox в точках $(3,0)$ и $(-3,0)$, и общими асимптотами $x=0$ и $y=-2$.
Шаг 2: Построим итоговый график $y = |y_1| = \left|\frac{6-2|x|}{|x|}\right|$. Это преобразование вида $|f(x)|$. Части графика $y_1$, расположенные под осью Ox, отражаем относительно этой оси.
Отрицательные значения $y_1$ были на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(3, +\infty)$. Эти части графика отражаются вверх.
Горизонтальная асимптота $y=-2$ для $y_1$ отражается и становится горизонтальной асимптотой $y=2$ для итогового графика.
Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
Точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ становятся точками минимума графика.

Ответ: График $y = \frac{6-2x}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-2$. График $y = \left|\frac{6-2|x|}{|x|}\right|$ строится в два этапа: сначала симметрия правой части ($x>0$) графика $y=\frac{6}{x}-2$ относительно оси OY, а затем отражение отрицательных частей полученного графика относительно оси OX. Итоговый график симметричен относительно оси Oy, имеет вертикальную асимптоту $x=0$, горизонтальную асимптоту $y=2$ и касается оси Ox в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

14.(2) Постройте графики функции $y=\sqrt{x}$ «по точкам», используя полученный эскиз, составьте план и постройте графики:

а) $y=2\sqrt{x}$, $y=-3\sqrt{x}$, $y=-\sqrt{x}$, $y=\sqrt{-x}$.

б) $y=\sqrt{x-4}$, $y=\sqrt{2x-4}$, $y=\sqrt{-x-4}$, $y=\sqrt{4-x}$.

Сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$ по точкам. Область определения этой функции — $x \ge 0$. Составим таблицу значений, выбирая $x$ так, чтобы было удобно извлекать квадратный корень:

x | 0 | 1 | 4 | 9
y | 0 | 1 | 2 | 3

Отметим эти точки (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3) на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. Полученный график (эскиз) представляет собой ветвь параболы, симметричную относительно оси Ox параболе $y = x^2$ (для $x \ge 0$).

Используя этот эскиз, построим остальные графики с помощью геометрических преобразований.

а)

$y=2\sqrt{x}$
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Растянуть его от оси Ox (вдоль оси Oy) в 2 раза. Это означает, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ нужно умножить на 2.
Например, точки (1, 1), (4, 2) преобразуются в (1, 2), (4, 4).
Ответ: График функции $y=2\sqrt{x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy в 2 раза.

$y=-3\sqrt{x}$
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Растянуть его от оси Ox (вдоль оси Oy) в 3 раза.
3. Отобразить полученный график симметрично относительно оси Ox.
Ответ: График функции $y=-3\sqrt{x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy в 3 раза с последующим симметричным отражением относительно оси Ox.

$y=-\sqrt{x}$
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Ox.
Ответ: График функции $y=-\sqrt{x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси Ox.

$y=\sqrt{-x}$
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Oy.
Область определения функции: $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$.
Ответ: График функции $y=\sqrt{-x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси Oy.

б)

$y=\sqrt{x-4}$
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Сдвинуть его на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.
Область определения функции: $x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.
Ответ: График функции $y=\sqrt{x-4}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ параллельным переносом на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

$y=\sqrt{2x-4}$
Преобразуем выражение: $y=\sqrt{2(x-2)}$.
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Сжать его к оси Oy в 2 раза, чтобы получить график $y=\sqrt{2x}$.
3. Сдвинуть полученный график на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.
Область определения функции: $2x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Ответ: График функции $y=\sqrt{2x-4}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сжатием к оси Oy в 2 раза и последующим сдвигом на 2 единицы вправо.

$y=\sqrt{-x-4}$
Преобразуем выражение: $y=\sqrt{-(x+4)}$.
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y=\sqrt{-x}$.
3. Сдвинуть полученный график на 4 единицы влево вдоль оси Ox.
Область определения функции: $-x-4 \ge 0$, то есть $x \le -4$.
Ответ: График функции $y=\sqrt{-x-4}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ отражением относительно оси Oy и последующим сдвигом на 4 единицы влево.

$y=\sqrt{4-x}$
Преобразуем выражение: $y=\sqrt{-(x-4)}$.
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y=\sqrt{-x}$.
3. Сдвинуть полученный график на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.
Область определения функции: $4-x \ge 0$, то есть $x \le 4$.
Ответ: График функции $y=\sqrt{4-x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ отражением относительно оси Oy и последующим сдвигом на 4 единицы вправо.

15. (2) Используя график функции $f(x) = \left| \frac{6-2|x|}{|x|} \right|$ из задачи 13 найдите количество корней уравнения $f(x) = p$ в зависимости от $p$.

Для решения задачи необходимо определить количество корней уравнения $f(x) = p$ в зависимости от параметра $p$. Это эквивалентно нахождению числа точек пересечения графика функции $f(x) = \frac{|6-2|x||}{|x|}$ с горизонтальной прямой $y=p$.

1. Анализ функции и построение ее графика.

Область определения функции $D(f)$: $x \neq 0$. Функция является четной, поскольку $f(-x) = \frac{|6-2|-x||}{|-x|} = \frac{|6-2|x||}{|x|} = f(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (OY). Это позволяет нам исследовать функцию только для $x > 0$, а затем симметрично отразить график.

При $x > 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = \frac{|6-2x|}{x}$. Раскроем модуль в числителе, рассмотрев два случая для $x>0$:

а) Если $6-2x \ge 0$, то есть $2x \le 6 \implies x \le 3$. С учетом условия $x>0$, получаем интервал $0 < x \le 3$. На этом интервале $|6-2x| = 6-2x$, и функция равна: $f(x) = \frac{6-2x}{x} = \frac{6}{x} - 2$.

б) Если $6-2x < 0$, то есть $x > 3$. На этом интервале $|6-2x| = -(6-2x) = 2x-6$, и функция равна: $f(x) = \frac{2x-6}{x} = 2 - \frac{6}{x}$.

Таким образом, для $x > 0$ функция задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x} - 2, & 0 < x \le 3 \\ 2 - \frac{6}{x}, & x > 3 \end{cases}$

Исследуем ключевые особенности графика для $x > 0$:
- Поведение при $x \to 0^+$: $f(x) = \frac{6}{x} - 2 \to +\infty$. Прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой.
- Поведение при $x \to +\infty$: $f(x) = 2 - \frac{6}{x} \to 2$. Прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой.
- На интервале $(0, 3)$ производная $f'(x) = -\frac{6}{x^2} < 0$, значит, функция убывает.
- На интервале $(3, +\infty)$ производная $f'(x) = \frac{6}{x^2} > 0$, значит, функция возрастает.
- В точке $x=3$ функция достигает своего минимума на $(0, +\infty)$: $f(3) = 0$.

График для $x>0$ начинается от $+\infty$ вблизи оси OY, убывает до точки $(3, 0)$, а затем возрастает, приближаясь снизу к асимптоте $y=2$. В силу четности, график для $x<0$ симметричен, имеет минимум в точке $(-3, 0)$ и те же асимптоты.

2. Определение количества корней уравнения $f(x)=p$.

Проанализируем количество точек пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=p$ для различных значений $p$.
- При $p < 0$: Прямая $y=p$ находится ниже оси OX. Поскольку $f(x) \ge 0$ для всех $x$, пересечений нет.
- При $p = 0$: Прямая $y=0$ касается графика в двух точках минимума: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$. Таким образом, уравнение имеет 2 корня.
- При $0 < p < 2$: Прямая $y=p$ пересекает каждую из двух ветвей графика (для $x>0$ и $x<0$) в двух точках: на участке убывания и на участке возрастания. Всего 4 точки пересечения, следовательно, 4 корня.
- При $p = 2$: Прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой. Найдем точки пересечения, решив уравнение $f(x)=2$: $\frac{|6-2|x||}{|x|} = 2 \implies |6-2|x|| = 2|x|$. Это уравнение распадается на два: $6-2|x| = 2|x|$ или $6-2|x| = -2|x|$. Из первого получаем $4|x|=6$, то есть $|x|=1.5$, что дает два корня $x_1 = 1.5$ и $x_2 = -1.5$. Второе уравнение, $6=0$, не имеет решений. Следовательно, при $p=2$ уравнение имеет 2 корня.
- При $p > 2$: Прямая $y=p$ пересекает каждую из двух ветвей, уходящих на бесконечность вблизи оси OY, ровно в одной точке. Следовательно, уравнение имеет 2 корня.

Ответ:
при $p < 0$ корней нет;
при $p = 0$ — 2 корня;
при $0 < p < 2$ — 4 корня;
при $p \ge 2$ — 2 корня.

16. (3) Составьте план и постройте график функции $f(x)=\left|\frac{4|x|+4}{|x|+2}\right|$.

План построения графика:
1. Упростим исходное выражение для функции. Так как $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то числитель $4|x|+4$ всегда положителен (поскольку $4|x|+4 \ge 4$) и знаменатель $|x|+2$ также всегда положителен (поскольку $|x|+2 \ge 2$). Следовательно, дробь $\frac{4|x|+4}{|x|+2}$ всегда положительна, и внешний знак модуля можно опустить. Таким образом, функция имеет вид:
$f(x) = \frac{4|x|+4}{|x|+2}$.
2. Преобразуем полученное выражение, выделив целую часть, чтобы определить вид графика:
$f(x) = \frac{4(|x|+2) - 8 + 4}{|x|+2} = \frac{4(|x|+2) - 4}{|x|+2} = 4 - \frac{4}{|x|+2}$.
3. Исследуем свойства функции $f(x) = 4 - \frac{4}{|x|+2}$:
а) Четность: Функция является четной, так как $f(-x) = 4 - \frac{4}{|-x|+2} = 4 - \frac{4}{|x|+2} = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
б) Асимптоты: При $x \to \pm\infty$, значение $|x| \to \infty$, следовательно, знаменатель $|x|+2 \to \infty$, а дробь $\frac{4}{|x|+2} \to 0$. Отсюда $f(x) \to 4$. Прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой графика.
в) Экстремумы и точки пересечения с осями: Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$: $f(0) = 4 - \frac{4}{|0|+2} = 4 - 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ — точка пересечения с осью Oy. Поскольку знаменатель $|x|+2$ достигает своего минимального значения, равного 2, при $x=0$, вычитаемое $\frac{4}{|x|+2}$ достигает своего максимального значения, равного 2. Следовательно, функция $f(x)$ в точке $x=0$ достигает своего минимума: $f_{min} = 2$. Точка $(0, 2)$ является точкой минимума. График не пересекает ось Ox, так как $f(x) \ge 2$.
4. Этапы построения графика:
а) В силу четности функции, построим ее график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразим его относительно оси Oy.
б) При $x \ge 0$, имеем $|x|=x$, и функция принимает вид $y = 4 - \frac{4}{x+2}$. Это ветвь гиперболы.
в) На координатной плоскости отметим точку минимума $(0, 2)$ и проведем горизонтальную асимптоту $y=4$.
г) Найдем контрольную точку для $x > 0$. Например, при $x=2$, $y = 4 - \frac{4}{2+2} = 4-1=3$. Точка — $(2, 3)$.
д) Соединим точки $(0, 2)$ и $(2, 3)$ плавной кривой, которая возрастает и приближается к асимптоте $y=4$.
е) Отобразим построенную кривую симметрично относительно оси Oy, чтобы получить вторую ветвь графика для $x < 0$.

Построение и описание графика:
На основе составленного плана, график функции $f(x)$ строится следующим образом.
График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy.
Обе ветви начинаются в общей точке $(0, 2)$, которая является точкой глобального минимума функции.
При $x>0$ (правая ветвь) график представляет собой кривую, которая начинается в точке $(0, 2)$, проходит через контрольную точку $(2, 3)$ и, возрастая, асимптотически приближается снизу к прямой $y=4$.
При $x<0$ (левая ветвь) график симметричен правой ветви. Он также начинается в точке $(0, 2)$, проходит через точку $(-2, 3)$ и асимптотически приближается снизу к прямой $y=4$ при $x \to -\infty$.
Таким образом, область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, а область значений — полуинтервал $E(f) = [2; 4)$.

Ответ: График функции $f(x) = \left| \frac{4|x|+4}{|x|+2} \right|$ представляет собой две симметричные относительно оси Oy ветви, выходящие из общей точки минимума $(0, 2)$. По мере удаления от оси Oy в обе стороны, ветви возрастают и асимптотически приближаются к горизонтальной прямой $y=4$. Область значений функции $E(f) = [2, 4)$.

17. Постройте по алгоритму график $y=f(x)$, где $f(x)=-x^2+2x+8$ на множестве $x \in [-3;5]$.

Составьте план и постройте графики следующих функций на основе графика $y=f(x)$.

а) (1) $y=\frac{1}{3}f(x)$;э) (1) $y=f(2x)$;б) (1) $y=-f(x)$;

в) (1) $y=f(-x)$;г) (1) $y=f(|x|)$;ф) (1) $y=|f(x)|$;

е) (1) $y=f(x)-3$;д) (2) $y=f(2x-4)$;ж) (3) $y=\left|\frac{1}{2}f(-x)-3\right|$;

з) $y=|f(|x|)|$.

Составьте план и постройте графики функций (18–20). Сделайте исследование функции по графику:

Сначала построим по алгоритму график исходной функции $y=f(x)$, где $f(x)=-x^2+2x+8$ на множестве $x \in [-3; 5]$.

1. Тип функции: Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), поэтому ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$. $y_0 = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 9)$.

3. Точки пересечения с осями координат: - С осью $Oy$ (при $x=0$): $f(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$. - С осью $Ox$ (при $y=0$): $f(x)=0 \implies -x^2+2x+8=0$. Умножим на -1: $x^2-2x-8=0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1=4$ и $x_2=-2$. Точки пересечения — $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Значения функции на концах отрезка $[-3; 5]$: - При $x=-3$: $f(-3) = -(-3)^2 + 2(-3) + 8 = -9 - 6 + 8 = -7$. Точка $(-3, -7)$. - При $x=5$: $f(5) = -(5)^2 + 2(5) + 8 = -25 + 10 + 8 = -7$. Точка $(5, -7)$.

Итоговые ключевые точки для построения графика $y=f(x)$ на отрезке $[-3; 5]$: $(-3, -7)$, $(-2, 0)$, $(0, 8)$, $(1, 9)$ (вершина), $(4, 0)$, $(5, -7)$.

Далее составим план и построим графики следующих функций на основе графика $y=f(x)$.

а) (1) $y=\frac{1}{3}f(x)$

План: Построение графика функции $y=\frac{1}{3}f(x)$ выполняется путем вертикального сжатия графика $y=f(x)$ к оси $Ox$ в 3 раза. Каждая ордината (y-координата) исходного графика умножается на $\frac{1}{3}$. Область определения функции не изменяется: $x \in [-3; 5]$.

Ключевые точки нового графика: $(-3, -7) \rightarrow (-3, -7/3)$; $(-2, 0) \rightarrow (-2, 0)$; $(1, 9) \rightarrow (1, 3)$; $(4, 0) \rightarrow (4, 0)$; $(5, -7) \rightarrow (5, -7/3)$.

Ответ: График получается из графика $f(x)$ сжатием вдоль оси $Oy$ в 3 раза. Вершина новой параболы в точке $(1, 3)$.

б) (1) $y=-f(x)$

План: Построение графика функции $y=-f(x)$ выполняется путем симметричного отражения графика $y=f(x)$ относительно оси $Ox$. Каждая ордината исходного графика умножается на $-1$. Область определения функции не изменяется: $x \in [-3; 5]$.

Ключевые точки нового графика: $(-3, -7) \rightarrow (-3, 7)$; $(-2, 0) \rightarrow (-2, 0)$; $(1, 9) \rightarrow (1, -9)$; $(4, 0) \rightarrow (4, 0)$; $(5, -7) \rightarrow (5, 7)$.

Ответ: График получается из графика $f(x)$ отражением относительно оси $Ox$. Новая парабола имеет ветви вверх, вершина в точке $(1, -9)$.

в) (1) $y=f(-x)$

План: Построение графика функции $y=f(-x)$ выполняется путем симметричного отражения графика $y=f(x)$ относительно оси $Oy$. Каждая абсцисса (x-координата) исходного графика умножается на $-1$. Область определения изменяется: если $x_{old} \in [-3; 5]$, то $x_{new} = -x_{old} \in [-5; 3]$.

Ключевые точки нового графика: $(-3, -7) \rightarrow (3, -7)$; $(-2, 0) \rightarrow (2, 0)$; $(1, 9) \rightarrow (-1, 9)$; $(4, 0) \rightarrow (-4, 0)$; $(5, -7) \rightarrow (-5, -7)$.

Ответ: График получается из графика $f(x)$ отражением относительно оси $Oy$. Новая область определения $D(y) = [-5; 3]$, вершина в точке $(-1, 9)$.

г) (1) $y=f(|x|)$

План: Для построения графика $y=f(|x|)$ необходимо: 1. Сохранить часть графика $y=f(x)$, где $x \ge 0$. 2. Удалить часть графика, где $x < 0$. 3. Отразить сохраненную часть симметрично относительно оси $Oy$. Область определения $D(f(|x|))$: так как $|x| \ge 0$ и исходный аргумент должен быть в $[-3; 5]$, то $|x| \in [0; 5]$, что дает новую область определения $x \in [-5; 5]$.

Ключевые точки нового графика (объединение части для $x \ge 0$ и её отражения): Часть для $x \ge 0$: $(0, 8), (1, 9), (4, 0), (5, -7)$. Отраженная часть для $x < 0$: $(-1, 9), (-4, 0), (-5, -7)$.

Ответ: График является четной функцией, симметричен относительно оси $Oy$. Он состоит из части исходного графика на $[0; 5]$ и ее зеркального отражения на $[-5; 0]$.

д) (2) $y=f(2x-4)$

План: Преобразование $y=f(2(x-2))$ выполняется в два этапа: 1. Горизонтальное сжатие графика $y=f(x)$ к оси $Oy$ в 2 раза (получаем $y=f(2x)$). 2. Сдвиг полученного графика вправо на 2 единицы. Область определения изменяется: $ -3 \le 2x-4 \le 5 \implies 1 \le 2x \le 9 \implies 0.5 \le x \le 4.5$.

Для каждой точки $(x_{old}, y_{old})$ нового графика $y_{new}=y_{old}$, а $x_{new} = (x_{old}+4)/2$. Ключевые точки нового графика: $(-3, -7) \rightarrow (0.5, -7)$; $(-2, 0) \rightarrow (1, 0)$; $(1, 9) \rightarrow (2.5, 9)$; $(4, 0) \rightarrow (4, 0)$; $(5, -7) \rightarrow (4.5, -7)$.

Ответ: График получается из графика $f(x)$ сжатием к оси $Oy$ в 2 раза и сдвигом вправо на 2. Новая область определения $D(y) = [0.5; 4.5]$, вершина в точке $(2.5, 9)$.

е) (1) $y=f(x)-3$

План: Построение графика функции $y=f(x)-3$ выполняется путем параллельного переноса (сдвига) графика $y=f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Из каждой ординаты вычитается 3. Область определения не изменяется: $x \in [-3; 5]$.

Ключевые точки нового графика: $(-3, -7) \rightarrow (-3, -10)$; $(-2, 0) \rightarrow (-2, -3)$; $(1, 9) \rightarrow (1, 6)$; $(4, 0) \rightarrow (4, -3)$; $(5, -7) \rightarrow (5, -10)$.

Ответ: График получается из графика $f(x)$ сдвигом вниз на 3 единицы. Вершина новой параболы в точке $(1, 6)$.

ж) (3) $y=|\frac{1}{2}f(-x)-3|$

План: Это последовательность из четырех преобразований: 1. $y_1=f(-x)$: отражение графика $f(x)$ относительно оси $Oy$. 2. $y_2=\frac{1}{2}f(-x)$: сжатие графика $y_1$ к оси $Ox$ в 2 раза. 3. $y_3=\frac{1}{2}f(-x)-3$: сдвиг графика $y_2$ вниз на 3 единицы. 4. $y=|y_3|$: часть графика $y_3$, лежащая ниже оси $Ox$, отражается симметрично вверх относительно оси $Ox$. Область определения после первого шага становится $D(y)=[-5; 3]$ и далее не меняется.

Ключевые точки нового графика: $(-5, -7) \xrightarrow{f(-x)} (5,-7) \xrightarrow{/2} (5,-3.5) \xrightarrow{-3} (5,-6.5) \xrightarrow{|\cdot|} (5, 6.5)$ — ошибка в вычислениях, должно быть: $(-5,-6.5) \xrightarrow{|\cdot|} (-5,6.5)$. Правильный путь: $(5, -7) \xrightarrow{f(-x)} (-5, -7) \xrightarrow{/2} (-5, -3.5) \xrightarrow{-3} (-5, -6.5) \xrightarrow{|\cdot|} (-5, 6.5)$. $(4, 0) \rightarrow (-4, 0) \rightarrow (-4, 0) \rightarrow (-4, -3) \rightarrow (-4, 3)$. $(1, 9) \rightarrow (-1, 9) \rightarrow (-1, 4.5) \rightarrow (-1, 1.5) \rightarrow (-1, 1.5)$. $(-2, 0) \rightarrow (2, 0) \rightarrow (2, 0) \rightarrow (2, -3) \rightarrow (2, 3)$. $(-3, -7) \rightarrow (3, -7) \rightarrow (3, -3.5) \rightarrow (3, -6.5) \rightarrow (3, 6.5)$.

Ответ: График получен в результате 4-х последовательных преобразований: отражение по $Oy$, сжатие по $Oy$, сдвиг вниз, отражение отрицательной части относительно $Ox$.

з) (3) $y=|f(|x|)|$

План: Построение выполняется в два этапа: 1. Строим график $y_1=f(|x|)$ (как в пункте г). 2. Строим график $y=|y_1|$, для этого часть графика $y_1$, лежащая ниже оси $Ox$, отражается симметрично вверх относительно оси $Ox$. Область определения такая же, как в пункте г): $x \in [-5; 5]$.

Используем ключевые точки из пункта г) для $f(|x|)$: $(-5, -7), (-4, 0), (-1, 9), (0, 8), (1, 9), (4, 0), (5, -7)$. Применяем модуль к ординатам: $(-5, -7) \rightarrow (-5, 7)$; $(-4, 0) \rightarrow (-4, 0)$; $(-1, 9) \rightarrow (-1, 9)$; $(0, 8) \rightarrow (0, 8)$; $(1, 9) \rightarrow (1, 9)$; $(4, 0) \rightarrow (4, 0)$; $(5, -7) \rightarrow (5, 7)$.

Ответ: График получается из графика $f(|x|)$ путем отражения частей, лежащих ниже оси $Ox$, вверх. Вся результирующая функция неотрицательна.