Страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Отметьте на окружности точки

$M_{\frac{\pi}{2}}, M_{\frac{2\pi}{3}}, M_{2-\frac{\pi}{3}}, M_{2-\frac{\pi}{6}}, M_{\frac{\pi}{6}}, M_{\frac{\pi}{3}}, M_{\frac{2\pi}{3}}, M_{-\frac{2\pi}{3}}, M_{-2\frac{1}{3}\pi}, M_{-21\frac{1}{2}\pi}$.

(Отмечать можно и нужно, полагаясь на свой глазомер, например, путь длины $\frac{\pi}{3}$ в 3 раза меньше пути длины $\pi$).

Для того чтобы отметить заданные точки на окружности, необходимо определить их положение, то есть угол, который они образуют с положительным направлением оси Ox. Положительные углы откладываются против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. Полный оборот по окружности составляет $2\pi$ радиан или $360^\circ$. Если угол по абсолютной величине больше $2\pi$, мы можем прибавлять или вычитать $2\pi$ до тех пор, пока не получим угол в пределах одного оборота (например, от $0$ до $2\pi$), так как точки на окружности будут совпадать.

$M_{\frac{\pi}{2}}$

Точка соответствует углу $\frac{\pi}{2}$ радиан, что равно $90^\circ$. Для ее нахождения нужно от начальной точки (соответствующей углу 0) пройти четверть окружности против часовой стрелки. Эта точка находится на положительной части оси OY.

Ответ: Точка $M_{\frac{\pi}{2}}$ расположена в верхней части окружности, на пересечении с осью OY, ее координаты (0, 1) на единичной окружности.

$M_{\frac{2\pi}{3}}$

Точка соответствует углу $\frac{2\pi}{3}$ радиан, что равно $120^\circ$. Этот угол больше, чем $\frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$), но меньше, чем $\pi$ ($180^\circ$), поэтому точка располагается во второй координатной четверти.

Ответ: Точка $M_{\frac{2\pi}{3}}$ расположена во второй четверти.

$M_{2\frac{1}{3}\pi}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{3}\pi = \frac{7\pi}{3}$. Чтобы найти положение точки на единичной окружности, вычтем полный оборот $2\pi$: $\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$. Это означает, что точка $M_{2\frac{1}{3}\pi}$ совпадает с точкой $M_{\frac{\pi}{3}}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ радиан равен $60^\circ$.

Ответ: Точка $M_{2\frac{1}{3}\pi}$ совпадает с точкой $M_{\frac{\pi}{3}}$ и расположена в первой четверти.

$M_{2\frac{1}{6}\pi}$

Преобразуем значение угла: $2\frac{1}{6}\pi = \frac{13\pi}{6}$. Найдем основное значение угла, вычитая полный оборот: $\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$. Таким образом, точка $M_{2\frac{1}{6}\pi}$ совпадает с точкой $M_{\frac{\pi}{6}}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^\circ$.

Ответ: Точка $M_{2\frac{1}{6}\pi}$ совпадает с точкой $M_{\frac{\pi}{6}}$ и расположена в первой четверти.

$M_{\pi}$

Точка соответствует углу $\pi$ радиан, или $180^\circ$. Это половина окружности против часовой стрелки от начальной точки. Эта точка находится на отрицательной части оси OX.

Ответ: Точка $M_{\pi}$ расположена в левой части окружности, на пересечении с осью OX, ее координаты (-1, 0) на единичной окружности.

$M_{\frac{\pi}{6}}$

Точка соответствует углу $\frac{\pi}{6}$ радиан, или $30^\circ$. Движение от начальной точки происходит против часовой стрелки. Точка находится в первой четверти.

Ответ: Точка $M_{\frac{\pi}{6}}$ расположена в первой четверти.

$M_{\frac{\pi}{3}}$

Точка соответствует углу $\frac{\pi}{3}$ радиан, или $60^\circ$. Движение от начальной точки происходит против часовой стрелки. Точка находится в первой четверти.

Ответ: Точка $M_{\frac{\pi}{3}}$ расположена в первой четверти.

$M_{\frac{2\pi}{3}}$

Эта точка идентична второй точке в списке. Угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан ($120^\circ$) соответствует точке во второй четверти.

Ответ: Точка $M_{\frac{2\pi}{3}}$ расположена во второй четверти.

$M_{-\frac{2\pi}{3}}$

Отрицательный угол означает движение по часовой стрелке от начальной точки. Угол $-\frac{2\pi}{3}$ радиан равен $-120^\circ$. Эта точка находится в третьей четверти. Ей соответствует положительный угол $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ радиан ($240^\circ$).

Ответ: Точка $M_{-\frac{2\pi}{3}}$ расположена в третьей четверти.

$M_{-2\frac{1}{3}\pi}$

Преобразуем значение угла: $-2\frac{1}{3}\pi = -\frac{7\pi}{3}$. Найдем основное значение угла, прибавив полный оборот $2\pi$: $-\frac{7\pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$. Это означает, что точка совершает один полный оборот по часовой стрелке и останавливается в положении, соответствующем углу $-\frac{\pi}{3}$. Угол $-\frac{\pi}{3}$ радиан ($-60^\circ$) находится в четвертой четверти.

Ответ: Точка $M_{-2\frac{1}{3}\pi}$ совпадает с точкой $M_{-\frac{\pi}{3}}$ и расположена в четвертой четверти.

$M_{-21\frac{1}{2}\pi}$

Преобразуем значение угла: $-21\frac{1}{2}\pi = -\frac{43\pi}{2}$. Найдем основное значение угла. Так как $2\pi = \frac{4\pi}{2}$, мы можем добавить кратное $2\pi$ для упрощения: $-\frac{43\pi}{2} = -\frac{44\pi - \pi}{2} = -22\pi + \frac{\pi}{2}$. Это соответствует 11 полным оборотам по часовой стрелке плюс угол $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: Точка $M_{-21\frac{1}{2}\pi}$ совпадает с точкой $M_{\frac{\pi}{2}}$ и расположена на положительной части оси OY.

Таким образом, некоторые из указанных точек совпадают. Всего на окружности нужно отметить 7 уникальных положений:
$M_{\frac{\pi}{6}}$ (совпадает с $M_{2\frac{1}{6}\pi}$),
$M_{\frac{\pi}{3}}$ (совпадает с $M_{2\frac{1}{3}\pi}$),
$M_{\frac{\pi}{2}}$ (совпадает с $M_{-21\frac{1}{2}\pi}$),
$M_{\frac{2\pi}{3}}$ (указана дважды),
$M_{\pi}$,
$M_{-\frac{2\pi}{3}}$,
$M_{-\frac{\pi}{3}}$ (совпадает с $M_{-2\frac{1}{3}\pi}$).
Ниже представлено изображение единичной окружности с отмеченными на ней уникальными точками.

Упражнение 2

Найдите координаты точек $M_0$, $M_{\frac{\pi}{2}}$, $M_{\pi}$, $M_{\frac{3\pi}{2}}$, $M_{4\pi}$ на координатной плоскости $xOy$. Не забудьте, что радиус окружности равен 1.

Окружность, которую мы сейчас рассматриваем, называется тригонометрической окружностью. На ее основе определяются все тригонометрические функции. Мы будем обозначать эту окружность $\omega$.

Там, где это не вызывает разночтений, вместо обозначений $M_x$, $M_{\frac{\pi}{2}}$, $M_{\frac{3\pi}{2}}'$ ... мы будем использовать на окружности обозначения $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $x$ ... .

Для нахождения координат точек на тригонометрической окружности, которая представляет собой окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат $(0, 0)$, мы используем связь между углом и декартовыми координатами. Координаты $(x, y)$ точки $M_t$, соответствующей углу $t$ (измеренному в радианах от положительного направления оси Ox против часовой стрелки), определяются формулами:
$x = \cos(t)$
$y = \sin(t)$

$M_0$
Эта точка соответствует углу $t = 0$ радиан. Найдем ее координаты:
$x = \cos(0) = 1$
$y = \sin(0) = 0$
Точка $M_0$ находится на положительной части оси абсцисс.
Ответ: $(1, 0)$

$M_{\frac{\pi}{2}}$
Эта точка соответствует углу $t = \frac{\pi}{2}$ радиан (или 90°). Найдем ее координаты:
$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Точка $M_{\frac{\pi}{2}}$ находится на положительной части оси ординат.
Ответ: $(0, 1)$

$M_{\pi}$
Эта точка соответствует углу $t = \pi$ радиан (или 180°). Найдем ее координаты:
$x = \cos(\pi) = -1$
$y = \sin(\pi) = 0$
Точка $M_{\pi}$ находится на отрицательной части оси абсцисс.
Ответ: $(-1, 0)$

$M_{\frac{3\pi}{2}}$
Эта точка соответствует углу $t = \frac{3\pi}{2}$ радиан (или 270°). Найдем ее координаты:
$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$
Точка $M_{\frac{3\pi}{2}}$ находится на отрицательной части оси ординат.
Ответ: $(0, -1)$

$M_{4\pi}$
Эта точка соответствует углу $t = 4\pi$ радиан. Поскольку тригонометрические функции имеют период $2\pi$, то угол $4\pi$ соответствует двум полным оборотам по окружности ($4\pi = 0 + 2 \cdot 2\pi$). Следовательно, точка $M_{4\pi}$ совпадает с точкой $M_0$.
$x = \cos(4\pi) = \cos(0) = 1$
$y = \sin(4\pi) = \sin(0) = 0$
Точка $M_{4\pi}$ совпадает с точкой $M_0$.
Ответ: $(1, 0)$