Страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 8

Подумайте, зачем нужно условие $c \neq 0$?

Условие $c \neq 0$ является фундаментальным требованием во многих разделах математики, и его основная цель — предотвратить выполнение математически недопустимой операции: деления на ноль.

Операция деления по определению является обратной к умножению. То есть, равенство $\frac{a}{b} = x$ эквивалентно равенству $a = b \cdot x$. Рассмотрим, что произойдет, если мы попытаемся разделить на ноль ($b=0$):

1. Деление ненулевого числа на ноль. Попытаемся вычислить $\frac{a}{0}$, где $a \neq 0$. Мы ищем такое число $x$, для которого будет выполняться равенство $a = 0 \cdot x$. Однако произведение любого числа на ноль всегда равно нулю ($0 \cdot x = 0$). Таким образом, мы приходим к противоречию $a = 0$, что неверно. Следовательно, такого числа $x$ не существует, и операция не имеет смысла.

2. Деление нуля на ноль. Попытаемся вычислить $\frac{0}{0}$. В этом случае мы ищем число $x$, для которого $0 = 0 \cdot x$. Это равенство справедливо для абсолютно любого числа $x$. Поскольку результат не является единственным и однозначно определенным, такое выражение называют неопределенностью.

Поскольку деление на ноль приводит либо к противоречию, либо к неопределенности, оно считается неопределенной операцией. Поэтому в любом математическом выражении, уравнении или функции необходимо следить, чтобы знаменатель дроби никогда не обращался в ноль. Условие $c \neq 0$ как раз и является таким ограничением, если переменная $c$ (или выражение, ее содержащее) находится в знаменателе.

Например, в выражении $\frac{5x}{c}$ или в уравнении $x = \frac{10}{c}$ это условие обеспечивает корректность и осмысленность самих записей. Если бы $c$ могло быть равно нулю, эти выражения потеряли бы математический смысл.

Ответ: Условие $c \neq 0$ необходимо для того, чтобы избежать деления на ноль. Деление на ноль — это неопределенная математическая операция, поскольку она приводит к противоречию (при делении ненулевого числа на ноль) или к неопределенности (при делении нуля на ноль), что делает математические выражения бессмысленными.

Упражнение 1

Найти уравнение касательной к графику функции $y=\cos^2 x$ в точке с абсциссой $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае дана функция $f(x) = \cos^2 x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{\pi}{4}; \frac{1}{2})$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\cos^2 x)' = 2\cos^{2-1}x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем:

$f'(x) = -\sin(2x)$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{4}) = -\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = \frac{1}{2}$, $f'(x_0) = -1$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в общее уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + (-1)(x - \frac{\pi}{4})$

$y = \frac{1}{2} - x + \frac{\pi}{4}$

Запишем уравнение в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = -x + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

Ответ: $y = -x + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.

Упражнение 2

Найти уравнения касательной к графику функции $y=x^3-4x$ в точках пересечения этого графика с осью абсцисс.

Сначала найдем точки пересечения графика функции $y = x^2 - 4x$ с осью абсцисс. Пересечение с осью абсцисс происходит в точках, где координата $y$ равна нулю.

Приравниваем функцию к нулю и решаем полученное уравнение:
$x^2 - 4x = 0$
Выносим общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 4) = 0$
Из этого уравнения находим два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в двух точках с координатами $(0, 0)$ и $(4, 0)$. В этих точках и нужно найти уравнения касательных.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
где $f'(x_0)$ — это значение производной функции в точке $x_0$, которое равно угловому коэффициенту касательной.

Найдем производную данной функции $y = x^2 - 4x$:
$y' = f'(x) = (x^2 - 4x)' = 2x - 4$.

Теперь составим уравнения касательных для каждой из найденных точек.

Для точки (0, 0):
Абсцисса точки касания $x_0 = 0$. Значение функции в этой точке $f(x_0) = f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$.
Найдем угловой коэффициент касательной, вычислив значение производной в этой точке:
$f'(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4$.
Подставляем найденные значения $x_0=0$, $f(0)=0$ и $f'(0)=-4$ в общее уравнение касательной:
$y = 0 + (-4)(x - 0)$
$y = -4x$.

Для точки (4, 0):
Абсцисса точки касания $x_0 = 4$. Значение функции в этой точке $f(x_0) = f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$.
Найдем угловой коэффициент касательной, вычислив значение производной в этой точке:
$f'(4) = 2 \cdot 4 - 4 = 8 - 4 = 4$.
Подставляем найденные значения $x_0=4$, $f(4)=0$ и $f'(4)=4$ в общее уравнение касательной:
$y = 0 + 4(x - 4)$
$y = 4x - 16$.

Ответ: $y = -4x$ и $y = 4x - 16$.

Упражнение 3

Найти координаты точек пересечения с осями координат тех касательных к графику функции $y=\frac{2x-2}{x+1}$, которые параллельны прямой $y=4x+1000$.

Условие параллельности касательной к прямой $y = 4x+1000$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y=4x+1000$ равен $k=4$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, т.е. $k = y'(x_0)$.

Найдем производную функции $y = \frac{2x-2}{x+1}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(2x-2)'(x+1) - (2x-2)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - (2x-2) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+2}{(x+1)^2} = \frac{4}{(x+1)^2}$

Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту $k=4$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$:

$\frac{4}{(x_0+1)^2} = 4$

$(x_0+1)^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $x_0$:

1) $x_0+1 = 1 \implies x_0 = 0$

2) $x_0+1 = -1 \implies x_0 = -2$

Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи. Найдем их уравнения и точки пересечения с осями координат.

Для первой касательной (при $x_0 = 0$):

Найдем ординату точки касания: $y_0 = y(0) = \frac{2(0)-2}{0+1} = -2$. Точка касания - $(0, -2)$.

Уравнение касательной имеет вид $y - y_0 = k(x-x_0)$:

$y - (-2) = 4(x-0)$

$y = 4x - 2$

Найдем точки пересечения этой касательной с осями координат:

Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = 4(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

Пересечение с осью OX: $y=0 \implies 0 = 4x - 2 \implies 4x=2 \implies x=0.5$. Точка $(0.5, 0)$.

Для второй касательной (при $x_0 = -2$):

Найдем ординату точки касания: $y_0 = y(-2) = \frac{2(-2)-2}{-2+1} = \frac{-6}{-1} = 6$. Точка касания - $(-2, 6)$.

Уравнение касательной:

$y - 6 = 4(x - (-2))$

$y - 6 = 4x + 8$

$y = 4x + 14$

Найдем точки пересечения этой касательной с осями координат:

Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = 4(0) + 14 = 14$. Точка $(0, 14)$.

Пересечение с осью OX: $y=0 \implies 0 = 4x + 14 \implies 4x=-14 \implies x=-3.5$. Точка $(-3.5, 0)$.

Ответ: Координаты точек пересечения с осями для первой касательной: $(0, -2)$ и $(0.5, 0)$. Координаты точек пересечения с осями для второй касательной: $(0, 14)$ и $(-3.5, 0)$.

Упражнение 4

Найти координаты точек пересечения с осью OX тех касательных к графику функции $y=\frac{x+1}{x-3}$, которые образуют угол $\frac{3\pi}{4}$ с осью OX.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти угловой коэффициент касательных, используя заданный угол наклона. 2. Найти производную данной функции. 3. Приравнять производную к угловому коэффициенту и найти абсциссы точек касания. 4. Найти полные координаты точек касания. 5. Составить уравнения касательных. 6. Найти точки пересечения касательных с осью OX.

1. Нахождение углового коэффициента. Угловой коэффициент $k$ касательной связан с углом ее наклона $\alpha$ к положительному направлению оси OX формулой $k = \tan(\alpha)$. По условию, угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$. Вычислим угловой коэффициент: $k = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$. Таким образом, все искомые касательные имеют угловой коэффициент, равный -1.

2. Нахождение производной функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной: $k = y'(x_0)$. Найдем производную функции $y = \frac{x+1}{x-3}$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = \frac{(x+1)'(x-3) - (x+1)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{1 \cdot (x-3) - (x+1) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{x - 3 - x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-4}{(x-3)^2}$.

3. Нахождение абсцисс точек касания. Приравняем значение производной к угловому коэффициенту $k = -1$: $y'(x_0) = -1$ $\frac{-4}{(x_0-3)^2} = -1$ Умножим обе части уравнения на $-(x_0-3)^2$ (при условии, что $x_0 \neq 3$, что выполняется, так как знаменатель не может быть равен нулю): $4 = (x_0-3)^2$ Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая: $x_0 - 3 = 2 \implies x_{01} = 5$ $x_0 - 3 = -2 \implies x_{02} = 1$ Таким образом, существуют две точки на графике функции, в которых касательная образует угол $\frac{3\pi}{4}$ с осью OX.

4. Нахождение уравнений касательных. Сначала найдем ординаты точек касания, подставив $x_{01}$ и $x_{02}$ в исходную функцию $y = \frac{x+1}{x-3}$: При $x_{01} = 5$: $y_{01} = \frac{5+1}{5-3} = \frac{6}{2} = 3$. Точка касания $M_1(5, 3)$. При $x_{02} = 1$: $y_{02} = \frac{1+1}{1-3} = \frac{2}{-2} = -1$. Точка касания $M_2(1, -1)$. Теперь составим уравнения касательных, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$. Касательная 1 (в точке $M_1(5, 3)$ с $k=-1$): $y - 3 = -1(x-5)$ $y - 3 = -x + 5$ $y = -x + 8$ Касательная 2 (в точке $M_2(1, -1)$ с $k=-1$): $y - (-1) = -1(x-1)$ $y + 1 = -x + 1$ $y = -x$

5. Нахождение точек пересечения с осью OX. Точка пересечения с осью OX имеет координату $y=0$. Подставим это значение в уравнения касательных. Для касательной $y = -x + 8$: $0 = -x + 8$ $x = 8$ Координаты точки пересечения: $(8, 0)$. Для касательной $y = -x$: $0 = -x$ $x = 0$ Координаты точки пересечения: $(0, 0)$.

Ответ: $(8, 0)$, $(0, 0)$.