Номер 3, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Найти координаты точек пересечения с осями координат тех касательных к графику функции $y=\frac{2x-2}{x+1}$, которые параллельны прямой $y=4x+1000$.

Условие параллельности касательной к прямой $y = 4x+1000$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y=4x+1000$ равен $k=4$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, т.е. $k = y'(x_0)$.

Найдем производную функции $y = \frac{2x-2}{x+1}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(2x-2)'(x+1) - (2x-2)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - (2x-2) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+2}{(x+1)^2} = \frac{4}{(x+1)^2}$

Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту $k=4$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$:

$\frac{4}{(x_0+1)^2} = 4$

$(x_0+1)^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $x_0$:

1) $x_0+1 = 1 \implies x_0 = 0$

2) $x_0+1 = -1 \implies x_0 = -2$

Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи. Найдем их уравнения и точки пересечения с осями координат.

Для первой касательной (при $x_0 = 0$):

Найдем ординату точки касания: $y_0 = y(0) = \frac{2(0)-2}{0+1} = -2$. Точка касания - $(0, -2)$.

Уравнение касательной имеет вид $y - y_0 = k(x-x_0)$:

$y - (-2) = 4(x-0)$

$y = 4x - 2$

Найдем точки пересечения этой касательной с осями координат:

Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = 4(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

Пересечение с осью OX: $y=0 \implies 0 = 4x - 2 \implies 4x=2 \implies x=0.5$. Точка $(0.5, 0)$.

Для второй касательной (при $x_0 = -2$):

Найдем ординату точки касания: $y_0 = y(-2) = \frac{2(-2)-2}{-2+1} = \frac{-6}{-1} = 6$. Точка касания - $(-2, 6)$.

Уравнение касательной:

$y - 6 = 4(x - (-2))$

$y - 6 = 4x + 8$

$y = 4x + 14$

Найдем точки пересечения этой касательной с осями координат:

Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = 4(0) + 14 = 14$. Точка $(0, 14)$.

Пересечение с осью OX: $y=0 \implies 0 = 4x + 14 \implies 4x=-14 \implies x=-3.5$. Точка $(-3.5, 0)$.

Ответ: Координаты точек пересечения с осями для первой касательной: $(0, -2)$ и $(0.5, 0)$. Координаты точек пересечения с осями для второй касательной: $(0, 14)$ и $(-3.5, 0)$.