Номер 6, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 6

Найти уравнения общих касательных к графикам функции $y = x^2$ и функции $y = -x^2 + 4x - 6$.

Пусть искомая общая касательная задается уравнением $y = kx + b$. Эта прямая должна касаться графиков обеих функций: $f(x) = x^2$ и $g(x) = -x^2 + 4x - 6$.

Для нахождения уравнений касательных воспользуемся производными. Уравнение касательной к графику функции $h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = h(x_0) + h'(x_0)(x-x_0)$.

1. Рассмотрим касательную к графику функции $f(x) = x^2$.Пусть точка касания имеет абсциссу $x_1$.Найдем производную: $f'(x) = 2x$.В точке $x_1$ значение производной равно $f'(x_1) = 2x_1$, а значение функции $f(x_1) = x_1^2$.Уравнение касательной в этой точке:$y = f(x_1) + f'(x_1)(x - x_1) = x_1^2 + 2x_1(x - x_1) = x_1^2 + 2x_1 x - 2x_1^2$.$y = 2x_1 x - x_1^2$.Сравнивая это уравнение с $y = kx + b$, получаем:$k = 2x_1$$b = -x_1^2$

2. Рассмотрим касательную к графику функции $g(x) = -x^2 + 4x - 6$.Пусть точка касания имеет абсциссу $x_2$.Найдем производную: $g'(x) = -2x + 4$.В точке $x_2$ значение производной равно $g'(x_2) = -2x_2 + 4$, а значение функции $g(x_2) = -x_2^2 + 4x_2 - 6$.Уравнение касательной в этой точке:$y = g(x_2) + g'(x_2)(x - x_2) = (-x_2^2 + 4x_2 - 6) + (-2x_2 + 4)(x - x_2)$.Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$y = (-2x_2 + 4)x + (-x_2^2 + 4x_2 - 6) - x_2(-2x_2 + 4)$$y = (-2x_2 + 4)x - x_2^2 + 4x_2 - 6 + 2x_2^2 - 4x_2$$y = (-2x_2 + 4)x + x_2^2 - 6$.Сравнивая это уравнение с $y = kx + b$, получаем:$k = -2x_2 + 4$$b = x_2^2 - 6$

3. Так как это одна и та же общая касательная, ее параметры $k$ и $b$ должны совпадать. Приравняем полученные выражения для $k$ и $b$:$ \begin{cases} 2x_1 = -2x_2 + 4 \\ -x_1^2 = x_2^2 - 6 \end{cases} $

Из первого уравнения системы выразим $x_1$:$x_1 = -x_2 + 2$.Подставим это выражение во второе уравнение системы:$-(-x_2 + 2)^2 = x_2^2 - 6$$-(x_2^2 - 4x_2 + 4) = x_2^2 - 6$$-x_2^2 + 4x_2 - 4 = x_2^2 - 6$$2x_2^2 - 4x_2 - 2 = 0$Разделим обе части уравнения на 2:$x_2^2 - 2x_2 - 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение для $x_2$:$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$x_2 = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Таким образом, мы получили две абсциссы точек касания, что означает существование двух общих касательных. Найдем их уравнения.

Случай 1: $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.Найдем параметры касательной $k$ и $b$:$k = -2x_2 + 4 = -2(1 + \sqrt{2}) + 4 = -2 - 2\sqrt{2} + 4 = 2 - 2\sqrt{2}$.$b = x_2^2 - 6 = (1 + \sqrt{2})^2 - 6 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 6 = 3 + 2\sqrt{2} - 6 = -3 + 2\sqrt{2}$.Уравнение первой касательной: $y = (2 - 2\sqrt{2})x - 3 + 2\sqrt{2}$.

Случай 2: $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.Найдем параметры касательной $k$ и $b$:$k = -2x_2 + 4 = -2(1 - \sqrt{2}) + 4 = -2 + 2\sqrt{2} + 4 = 2 + 2\sqrt{2}$.$b = x_2^2 - 6 = (1 - \sqrt{2})^2 - 6 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 6 = 3 - 2\sqrt{2} - 6 = -3 - 2\sqrt{2}$.Уравнение второй касательной: $y = (2 + 2\sqrt{2})x - 3 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $y = (2 + 2\sqrt{2})x - 3 - 2\sqrt{2}$ и $y = (2 - 2\sqrt{2})x - 3 + 2\sqrt{2}$.