Страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

10. (2) Ток в электрической цепи изменяется по закону $I(t) = 2t^3 + 5$. По какому закону изменяется заряд в ней?

A) $q(t) = \frac{1}{2}t^3 + 5t$;

B) $q(t) = 6t^2$;

C) $q(t) = 6t^2 + 5t$;

D) $q(t) = \frac{1}{2}t^4 + 5t$.

Сила тока $I(t)$ является производной от электрического заряда $q(t)$ по времени $t$, то есть $I(t) = q'(t)$. Чтобы найти закон изменения заряда $q(t)$, нужно выполнить обратную операцию — найти первообразную (интеграл) от функции силы тока $I(t)$.

По условию, $I(t) = 2t^3 + 5$. Вычислим интеграл для нахождения $q(t)$:

$q(t) = \int I(t) dt = \int (2t^3 + 5) dt$

Используя правила интегрирования, находим:

$q(t) = \int 2t^3 dt + \int 5 dt = 2 \cdot \frac{t^{3+1}}{3+1} + 5t + C = 2 \cdot \frac{t^4}{4} + 5t + C = \frac{1}{2}t^4 + 5t + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования, соответствующая начальному заряду. В предложенных вариантах ответа свободный член отсутствует, поэтому мы полагаем $C=0$. В результате получаем:

$q(t) = \frac{1}{2}t^4 + 5t$

Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: D) $q(t)=\frac{1}{2}t^4+5t$.

11. (2)

Андрей и Белла играют в следующую игру. Они по очереди берут камни из кучи, не меньше 1 и не больше 7 каждый раз. Не разрешается брать столько же камней, сколько взял другой игрок на предыдущем ходе. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. В начале игры в куче было 15 камней. Первым ходит Андрей. Сколько камней он должен взять, делая первый ход, если он хочет наверняка выиграть игру?

Это задача на теорию игр. Решение заключается в поиске выигрышной стратегии для первого игрока (Андрея). Стратегия состоит в том, чтобы после каждого своего хода оставлять противнику (Белле) так называемую "проигрышную позицию". Проигрышная позиция — это такая ситуация, из которой любой ход ведет в выигрышную позицию для другого игрока.

Состояние игры в любой момент определяется не только количеством камней в куче (обозначим N), но и количеством камней, взятых на предыдущем ходе (обозначим k_пред), так как это накладывает ограничение на текущий ход. Таким образом, позицию можно описать парой (N, k_пред).

Андрей выигрывает, если своим первым ходом он сможет создать для Беллы проигрышную позицию. Проанализируем возможные ходы Андрея.

Выигрышный ход для Андрея — взять 2 камня.

В этом случае в куче останется $15 - 2 = 13$ камней, а предыдущий ход равен 2. Белла оказывается в позиции (13, 2). Ей нужно сделать ход, взяв k_Б камней, где $1 \le k_Б \le 7$ и $k_Б \ne 2$. Рассмотрим все возможные ходы Беллы и покажем, что на каждый из них у Андрея есть выигрышный ответ, то есть он может снова оставить Белле проигрышную позицию.

Некоторые ключевые проигрышные позиции (N, k_пред), которые Андрей будет использовать: (0, k) (камней нет, ход сделать нельзя), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 3), (8, 4).

Итак, Белла в позиции (13, 2). Ее возможные ходы:

1. Белла берет 1 камень ($k_Б=1$).
В куче остается $13 - 1 = 12$ камней. Позиция для Андрея — (12, 1).
Андрей может взять 4 камня ($k_А=4$), так как $1 \le 4 \le 7$ и $4 \ne 1$.
В куче остается $12 - 4 = 8$ камней. Позиция для Беллы — (8, 4). Это проигрышная позиция. Любой ход Беллы (она не может взять 4 камня) приведет к тому, что Андрей сможет забрать все оставшиеся камни и выиграть.

2. Белла берет 3 камня ($k_Б=3$).
В куче остается $13 - 3 = 10$ камней. Позиция для Андрея — (10, 3).
Андрей может взять 5 камней ($k_А=5$), так как $1 \le 5 \le 7$ и $5 \ne 3$.
В куче остается $10 - 5 = 5$ камней. Позиция для Беллы — (5, 5). Это проигрышная позиция, так как Белла не может взять 5 камней. Любой ее ход (1, 2, 3 или 4 камня) позволит Андрею забрать оставшиеся камни (4, 3, 2 или 1 соответственно) и выиграть.

3. Белла берет 4 камня ($k_Б=4$).
В куче остается $13 - 4 = 9$ камней. Позиция для Андрея — (9, 4).
Андрей может взять 6 камней ($k_А=6$), так как $1 \le 6 \le 7$ и $6 \ne 4$.
В куче остается $9 - 6 = 3$ камня. Позиция для Беллы — (3, 6).
Белла может взять 1, 2 или 3 камня. Если она возьмет 1 или 2, Андрей заберет остаток. Если она возьмет 3, она оставит 0 камней, но следующая позиция для Андрея будет (0, 3), где он не может сделать ход и, казалось бы, проигрывает. Однако, Андрей может сделать другой ход из позиции (9,4). Андрей может взять 3 камня. Тогда останется 6, позиция (6,3) для Беллы. Это проигрышная позиция для Беллы.

4. Белла берет 5 камней ($k_Б=5$).
В куче остается $13 - 5 = 8$ камней. Позиция для Андрея — (8, 5).
Андрей может взять 4 камня ($k_А=4$), так как $1 \le 4 \le 7$ и $4 \ne 5$.
В куче остается $8 - 4 = 4$ камня. Позиция для Беллы — (4, 4). Это проигрышная позиция.

5. Белла берет 6 камней ($k_Б=6$).
В куче остается $13 - 6 = 7$ камней. Позиция для Андрея — (7, 6).
Андрей может взять 7 камней ($k_А=7$), так как $1 \le 7 \le 7$ и $7 \ne 6$.
В куче остается $7 - 7 = 0$ камней. Андрей выигрывает.

6. Белла берет 7 камней ($k_Б=7$).
В куче остается $13 - 7 = 6$ камней. Позиция для Андрея — (6, 7).
Андрей может взять 3 камня ($k_А=3$), так как $1 \le 3 \le 7$ и $3 \ne 7$.
В куче остается $6 - 3 = 3$ камня. Позиция для Беллы — (3, 3). Это проигрышная позиция.

Таким образом, если Андрей первым ходом возьмет 2 камня, он сможет на любой ход Беллы ответить так, чтобы снова поставить ее в проигрышное положение, что и гарантирует ему победу.

Ответ: 2.

12. (2) Найти решение уравнений:

а) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2,9;$

б) $\frac{2x + 1}{x} + \frac{4x}{2x + 1} = 5.$

а) $\frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = 2,9$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:
1. $x \neq 0$
2. $x^2+1 \neq 0$. Это выражение всегда положительно для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 0$.

Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = \frac{x^2+1}{x}$. Тогда $\frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{y}$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y + \frac{1}{y} = 2,9$

Представим $2,9$ в виде обыкновенной дроби: $2,9 = \frac{29}{10}$.
$y + \frac{1}{y} = \frac{29}{10}$
Умножим обе части уравнения на $10y$ (при условии, что $y \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:
$10y^2 + 10 = 29y$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$10y^2 - 29y + 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441 = 21^2$
Найдем корни $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{29 + 21}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2} = 2,5$
$y_2 = \frac{29 - 21}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
Случай 1: $y = 2,5$
$\frac{x^2+1}{x} = 2,5$
$\frac{x^2+1}{x} = \frac{5}{2}$
$2(x^2+1) = 5x$
$2x^2 + 2 = 5x$
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
$x_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Случай 2: $y = 0,4$
$\frac{x^2+1}{x} = 0,4$
$\frac{x^2+1}{x} = \frac{2}{5}$
$5(x^2+1) = 2x$
$5x^2 + 5 = 2x$
$5x^2 - 2x + 5 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 4 - 100 = -96$
Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=2$ и $x=0,5$.

Ответ: $2; 0,5$.

б) $\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5$

Определим ОДЗ уравнения:
1. $x \neq 0$
2. $2x+1 \neq 0 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -0,5$
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -0,5$.

Заметим, что второе слагаемое $\frac{4x}{2x+1}$ можно представить как $4 \cdot \frac{x}{2x+1}$. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = \frac{2x+1}{x}$. Тогда $\frac{x}{2x+1} = \frac{1}{y}$, а $\frac{4x}{2x+1} = \frac{4}{y}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$y + \frac{4}{y} = 5$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$):
$y^2 + 4 = 5y$
Перенесём все члены в одну сторону:
$y^2 - 5y + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, произведение корней равно 4. Корни легко подбираются: $y_1=1$ и $y_2=4$.
Или решим через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
$y_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $y = 4$
$\frac{2x+1}{x} = 4$
$2x+1 = 4x$
$1 = 4x - 2x$
$1 = 2x$
$x_1 = \frac{1}{2} = 0,5$
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y = 1$
$\frac{2x+1}{x} = 1$
$2x+1 = x$
$2x - x = -1$
$x_2 = -1$
Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=0,5$ и $x=-1$.

Ответ: $0,5; -1$.

13. (2)

Арман устраивается на работу. Фирма «К» обещает ему 1000 у.е. в первый месяц, и затем каждый месяц увеличивать его заработную плату на 10%. Какую сумму (в у.е.) заработает Арман за первый год?

13.(2) Заработная плата Армана за каждый месяц образует геометрическую прогрессию.

Первый член прогрессии $b_1$ — это зарплата за первый месяц, которая составляет $1000$ у.е.

Каждый следующий месяц зарплата увеличивается на 10%, то есть она умножается на коэффициент $1 + \frac{10}{100} = 1.1$. Это и есть знаменатель геометрической прогрессии $q = 1.1$.

Чтобы найти общую сумму, заработанную за первый год, то есть за $12$ месяцев, необходимо вычислить сумму первых $12$ членов ($n = 12$) этой прогрессии.

Для этого воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения в формулу: $S_{12} = \frac{1000 \cdot ((1.1)^{12} - 1)}{1.1 - 1}$

Теперь выполним вычисления: $S_{12} = \frac{1000 \cdot ((1.1)^{12} - 1)}{0.1}$ $S_{12} = 10000 \cdot ((1.1)^{12} - 1)$

Вычислим значение $(1.1)^{12}$. Это можно сделать с помощью калькулятора: $(1.1)^{12} \approx 3.138428$.

Подставим это значение обратно в нашу формулу: $S_{12} \approx 10000 \cdot (3.138428 - 1)$ $S_{12} \approx 10000 \cdot 2.138428$ $S_{12} \approx 21384.28$

Ответ: за первый год Арман заработает $21384.28$ у.е.

14. (2) Упростите: $(3 \sin x + 2 \cos x)^2 + (2 \sin x - 3 \cos x)^2$

14. (2)

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть обе скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Раскроем первую скобку:

$(3\sin x + 2\cos x)^2 = (3\sin x)^2 + 2 \cdot (3\sin x) \cdot (2\cos x) + (2\cos x)^2 = 9\sin^2 x + 12\sin x \cos x + 4\cos^2 x$.

Раскроем вторую скобку:

$(2\sin x - 3\cos x)^2 = (2\sin x)^2 - 2 \cdot (2\sin x) \cdot (3\cos x) + (3\cos x)^2 = 4\sin^2 x - 12\sin x \cos x + 9\cos^2 x$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(9\sin^2 x + 12\sin x \cos x + 4\cos^2 x) + (4\sin^2 x - 12\sin x \cos x + 9\cos^2 x)$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(9\sin^2 x + 4\sin^2 x) + (4\cos^2 x + 9\cos^2 x) + (12\sin x \cos x - 12\sin x \cos x) = 13\sin^2 x + 13\cos^2 x$.

Вынесем общий множитель 13 за скобки:

$13(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$13 \cdot 1 = 13$.

Ответ: $13$