Номер 31, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

31. (3) Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции $y=\cos x$: первая в точке на графике с абсциссой $x=-\frac{\pi}{6}$, а вторая – в точке с абсциссой $x=\frac{7\pi}{6}$.

31. (3)

Чтобы найти координаты точки пересечения двух касательных, сначала найдем уравнения этих касательных.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = \cos x$. Найдем ее производную:$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

1. Найдем уравнение первой касательной в точке $x_1 = \frac{\pi}{6}$.

Найдем значение функции и ее производной в этой точке:
$f(x_1) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f'(x_1) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2})(x - \frac{\pi}{6})$
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12}$

2. Найдем уравнение второй касательной в точке $x_2 = \frac{7\pi}{6}$.

Найдем значение функции и ее производной в этой точке:
$f(x_2) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$f'(x_2) = -\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение касательной:
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}(x - \frac{7\pi}{6})$
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}x - \frac{7\pi}{12}$

3. Найдем точку пересечения касательных.

Для этого приравняем правые части уравнений двух касательных:
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}x - \frac{7\pi}{12}$

Соберем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а остальные — в другой:
$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x$
$\sqrt{3} + \frac{8\pi}{12} = x$
$x = \sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}$

Теперь найдем координату $y$, подставив найденное значение $x$ в уравнение любой из касательных. Воспользуемся уравнением второй касательной:
$y = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$
$y = \frac{\pi}{3} - \frac{7\pi}{12}$
$y = \frac{4\pi}{12} - \frac{7\pi}{12} = -\frac{3\pi}{12} = -\frac{\pi}{4}$

Таким образом, координаты точки пересечения касательных: $(\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{4})$.

Ответ: $(\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{4})$