Номер 1, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Постройте график функции $y = \cos x$.

Для построения графика функции $y = \cos x$, который называется косинусоидой, необходимо выполнить несколько шагов: изучить свойства функции, найти координаты опорных точек, а затем нанести их на координатную плоскость и соединить плавной линией.

1. Основные свойства функции $y = \cos x$

- Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$. Записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: Все значения функции лежат в отрезке от -1 до 1. Записывается как $E(y) = [-1; 1]$.

- Периодичность: Функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что вид графика повторяется через каждый интервал длиной $2\pi$, то есть $\cos(x + 2\pi k) = \cos x$ для любого целого $k$. Поэтому достаточно построить график на любом отрезке длиной $2\pi$, например $[-\pi; \pi]$, и затем продолжить его.

- Четность: Функция является четной, поскольку выполняется равенство $\cos(-x) = \cos x$. Это свойство означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

- Нули функции: Функция обращается в ноль ($y=0$) в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

- Экстремумы функции:
Максимумы, равные 1, достигаются в точках $x = 2\pi n$.
Минимумы, равные -1, достигаются в точках $x = \pi + 2\pi n$.

2. Опорные точки для построения

Используя свойство четности, достаточно найти точки для $x \ge 0$ на одном полупериоде, например, на отрезке $[0; \pi]$, а затем симметрично отразить их относительно оси Oy.

- при $x = 0$, $y = \cos(0) = 1$; Точка $(0, 1)$.
- при $x = \frac{\pi}{3}$, $y = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$; Точка $(\frac{\pi}{3}, 0.5)$.
- при $x = \frac{\pi}{2}$, $y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$; Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
- при $x = \frac{2\pi}{3}$, $y = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$; Точка $(\frac{2\pi}{3}, -0.5)$.
- при $x = \pi$, $y = \cos(\pi) = -1$; Точка $(\pi, -1)$.

3. Построение графика

1. Начертим координатные оси Ox и Oy. На оси Ox отметим точки $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ и т.д., а также симметричные им отрицательные значения. На оси Oy отметим значения 1 и -1.
2. Нанесем на плоскость опорные точки, вычисленные выше, и симметричные им.
3. Соединим точки плавной, непрерывной кривой.
4. Повторим полученный фрагмент графика на всей числовой оси с периодом $2\pi$.

Ответ:
Ниже представлен график функции $y=\cos x$.