Номер 6, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (3) Постройте графики функций и проведите исследование свойств функций по построенным графикам:

а) $y=1+\cos(1.5x)$;

б) $y=1.5\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)+2$;

в) $y=3\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3}\right)-1$.

а) $y=1+\cos1,5x$

Построение графика функции $y = 1 + \cos(1,5x)$ выполняется путем преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Сначала строим график $y = \cos(x)$.

2. Затем сжимаем его по горизонтали (к оси Oy) с коэффициентом 1,5. Получаем график функции $y = \cos(1,5x)$. Период этой функции будет $T = \frac{2\pi}{1,5} = \frac{4\pi}{3}$.

3. Наконец, сдвигаем полученный график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Это дает нам искомый график $y = 1 + \cos(1,5x)$.

Исследование свойств функции по графику:

1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: так как $-1 \le \cos(1,5x) \le 1$, то $1-1 \le 1+\cos(1,5x) \le 1+1$. Следовательно, $E(y) = [0; 2]$.

3. Периодичность: функция является периодической с основным периодом $T = \frac{4\pi}{3}$.

4. Четность: функция четная, поскольку $y(-x) = 1 + \cos(1,5(-x)) = 1 + \cos(1,5x) = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.

5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y=0 \implies 1 + \cos(1,5x) = 0 \implies \cos(1,5x) = -1$. Отсюда $1,5x = \pi + 2\pi n$, что дает $x = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства: так как область значений $E(y) = [0; 2]$, функция неотрицательна на всей области определения, т.е. $y \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

7. Промежутки монотонности (на одном периоде, например $[0; \frac{4\pi}{3}]$):

- функция убывает на промежутке $[0 + \frac{4\pi n}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

- функция возрастает на промежутке $[\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}; \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Точки экстремума:

- точки максимума: $x_{max} = \frac{4\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в максимумах: $y_{max} = 2$.

- точки минимума: $x_{min} = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в минимумах: $y_{min} = 0$.

Ответ: Проведено исследование функции $y = 1 + \cos(1,5x)$, ее свойства описаны выше.

б) $y=1,5\cos(\frac{\pi}{6}-x)+2$

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, можно переписать функцию в виде $y=1,5\cos(x-\frac{\pi}{6})+2$.

Построение графика функции выполняется путем преобразований графика $y = \cos(x)$.

1. Строим график $y = \cos(x)$.

2. Растягиваем его от оси Ox в 1,5 раза, получая $y = 1,5\cos(x)$. Амплитуда колебаний становится 1,5.

3. Сдвигаем полученный график вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$. Получаем $y = 1,5\cos(x - \frac{\pi}{6})$.

4. Сдвигаем график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = 1,5\cos(x - \frac{\pi}{6}) + 2$.

Исследование свойств функции по графику:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $-1 \le \cos(x - \frac{\pi}{6}) \le 1 \implies -1,5 \le 1,5\cos(x - \frac{\pi}{6}) \le 1,5 \implies 2-1,5 \le 1,5\cos(x - \frac{\pi}{6}) + 2 \le 2+1,5$. Следовательно, $E(y) = [0,5; 3,5]$.

3. Периодичность: функция периодическая с основным периодом $T = \frac{2\pi}{|-1|} = 2\pi$.

4. Четность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как $y(-x) = 1,5\cos(\frac{\pi}{6}+x)+2$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

5. Нули функции: $y=0 \implies 1,5\cos(\frac{\pi}{6} - x) = -2 \implies \cos(\frac{\pi}{6} - x) = -\frac{2}{1,5} = -\frac{4}{3}$. Так как значение косинуса не может быть меньше -1, уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox.

6. Промежутки знакопостоянства: так как минимальное значение функции равно 0,5, функция положительна на всей области определения, $y > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

7. Промежутки монотонности (на одном периоде, например $[\frac{\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}]$):

- функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

- функция возрастает на промежутках $[\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{13\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Точки экстремума:

- точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в максимумах: $y_{max} = 3,5$.

- точки минимума: $x_{min} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в минимумах: $y_{min} = 0,5$.

Ответ: Проведено исследование функции $y=1,5\cos(\frac{\pi}{6}-x)+2$, ее свойства описаны выше.

в) $y=3\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3})-1$

Преобразуем аргумент косинуса: $y=3\cos(\frac{1}{3}(x-\pi))-1$.

Построение графика функции выполняется путем преобразований графика $y = \cos(x)$.

1. Строим график $y = \cos(x)$.

2. Растягиваем его по горизонтали (от оси Oy) с коэффициентом 3. Получаем $y=\cos(\frac{x}{3})$. Период становится $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

3. Растягиваем график от оси Ox в 3 раза, получая $y = 3\cos(\frac{x}{3})$. Амплитуда становится 3.

4. Сдвигаем график вправо по оси Ox на $\pi$. Получаем $y = 3\cos(\frac{1}{3}(x - \pi))$.

5. Сдвигаем график на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = 3\cos(\frac{1}{3}(x - \pi)) - 1$.

Исследование свойств функции по графику:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $-1 \le \cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3}) \le 1 \implies -3 \le 3\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3}) \le 3 \implies -3-1 \le 3\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3})-1 \le 3-1$. Следовательно, $E(y) = [-4; 2]$.

3. Периодичность: функция периодическая с основным периодом $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

4. Четность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как $y(-x) = 3\cos(-\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3})-1 = 3\cos(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3})-1$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

5. Нули функции: $y=0 \implies 3\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3}) = 1 \implies \cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3}$. Отсюда $\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3} = \pm\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$, что дает $x = \pi \pm 3\arccos(\frac{1}{3}) + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ на интервалах $(\pi - 3\arccos(\frac{1}{3}) + 6\pi n; \pi + 3\arccos(\frac{1}{3}) + 6\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

- $y < 0$ на интервалах $(\pi + 3\arccos(\frac{1}{3}) + 6\pi n; 7\pi - 3\arccos(\frac{1}{3}) + 6\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности (на одном периоде, например $[\pi; 7\pi]$):

- функция убывает на промежутках $[\pi + 6\pi n; 4\pi + 6\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

- функция возрастает на промежутках $[4\pi + 6\pi n; 7\pi + 6\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Точки экстремума:

- точки максимума: $x_{max} = \pi + 6\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в максимумах: $y_{max} = 2$.

- точки минимума: $x_{min} = 4\pi + 6\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Значение в минимумах: $y_{min} = -4$.

Ответ: Проведено исследование функции $y=3\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{3})-1$, ее свойства описаны выше.