Номер 13, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (1) Постройте график функции $y = \cos \pi x$.

(1) Для построения графика функции $y = \cos(\pi x)$ проанализируем её свойства и сравним с графиком основной функции $y = \cos(t)$.
График функции $y = \cos(\pi x)$ получается из графика $y = \cos(t)$ путем горизонтального сжатия вдоль оси абсцисс (оси Ox).

Основные свойства функции $y = \cos(\pi x)$:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция косинус определена для любого действительного аргумента.
2. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$, поскольку амплитуда функции равна 1.
3. Периодичность: Функция является периодической. Её основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k$ — коэффициент при $x$. В данном случае $k = \pi$, поэтому период равен $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
4. Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \cos(\pi(-x)) = \cos(-\pi x) = \cos(\pi x) = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Построение графика:
Для построения графика найдем ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2]$. Это точки максимума, минимума и пересечения с осью Ox.
- Максимумы ($y=1$): $\cos(\pi x) = 1 \implies \pi x = 2\pi n \implies x = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2]$ это точки $x=0$ и $x=2$. Получаем точки $(0, 1)$ и $(2, 1)$.
- Минимумы ($y=-1$): $\cos(\pi x) = -1 \implies \pi x = \pi + 2\pi n \implies x = 1 + 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2]$ это точка $x=1$. Получаем точку $(1, -1)$.
- Пересечение с осью Ox ($y=0$): $\cos(\pi x) = 0 \implies \pi x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{1}{2} + n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2]$ это точки $x=0.5$ и $x=1.5$. Получаем точки $(0.5, 0)$ и $(1.5, 0)$.

Алгоритм построения:
1. Начертить координатные оси Ox и Oy.
2. Отметить на осях единичные отрезки. По оси Oy достаточно диапазона от -1 до 1. По оси Ox отметить точки 0, 0.5, 1, 1.5, 2 и т.д.
3. Построить найденные ключевые точки: $(0, 1)$, $(0.5, 0)$, $(1, -1)$, $(1.5, 0)$, $(2, 1)$.
4. Соединить эти точки плавной линией, получив волну (косинусоиду) на отрезке $[0, 2]$.
5. Продолжить этот узор влево и вправо вдоль оси Ox, так как функция периодична с периодом 2.

Ответ: График функции $y=\cos(\pi x)$ представляет собой косинусоиду, которая имеет амплитуду 1 (колеблется между -1 и 1) и период, равный 2. График проходит через точки максимума $(2n, 1)$ и минимума $(1+2n, -1)$, и пересекает ось абсцисс в точках $x=0.5+n$, где $n$ — любое целое число. График симметричен относительно оси Oy.