Номер 15, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (3) Постройте графики функций и проведите исследование свойств функций по построенным графикам:

а) $y=-1+\cos\frac{x}{2}$;

б) $y=-3\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+3$;

в) $y=|\cos 2x|$.

а) $y = -1 + \cos\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = -1 + \cos\frac{x}{2}$ выполним преобразования графика функции $y = \cos x$. Сначала растянем график $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс в 2 раза, получив график $y = \cos\frac{x}{2}$. Затем сдвинем полученный график на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция косинус определена для любых действительных чисел.

2. Область значений: Поскольку $-1 \le \cos\frac{x}{2} \le 1$, то $-1-1 \le -1 + \cos\frac{x}{2} \le -1+1$. Следовательно, область значений $E(y) = [-2; 0]$.

3. Периодичность: Функция является периодической. Период $T$ для $\cos(kx)$ равен $\frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\frac{1}{2}$, поэтому наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

4. Четность: Проверим $y(-x) = -1 + \cos(\frac{-x}{2})$. Так как $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, то $y(-x) = -1 + \cos\frac{x}{2} = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

5. Нули функции: $y=0$ при $-1 + \cos\frac{x}{2} = 0$, то есть $\cos\frac{x}{2} = 1$. Это выполняется, когда $\frac{x}{2} = 2\pi n$, следовательно, $x = 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства: Так как максимальное значение функции равно 0, то $y \le 0$ для всех $x$. $y < 0$ при $x \ne 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутках вида $[4\pi n; 2\pi + 4\pi n]$ и возрастает на промежутках вида $[2\pi + 4\pi n; 4\pi + 4\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы: Наибольшее значение функции $y_{max} = 0$ достигается в точках $x = 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение функции $y_{min} = -2$ достигается в точках $x = 2\pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [-2; 0]$; функция четная, периодическая с периодом $T = 4\pi$; нули функции $x = 4\pi n$; $y \le 0$ при $x \in \mathbb{R}$; убывает на $[4\pi n; 2\pi + 4\pi n]$; возрастает на $[2\pi + 4\pi n; 4\pi + 4\pi n]$; $y_{max} = 0$ при $x=4\pi n$; $y_{min} = -2$ при $x=2\pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -3\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 3$

Для построения графика функции $y = -3\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 3$ выполним преобразования графика $y = \cos x$: сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$, растяжение вдоль оси Oy в 3 раза, отражение относительно оси Ox и сдвиг вверх на 3 единицы.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Поскольку $-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$, то $-3 \le -3\cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 3$. Тогда $-3+3 \le -3\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 3 \le 3+3$. Следовательно, $E(y) = [0; 6]$.

3. Периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$.

4. Четность: $y(-x) = -3\cos(-x + \frac{\pi}{3}) + 3 = -3\cos(x - \frac{\pi}{3}) + 3$. Так как $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

5. Нули функции: $y=0$ при $-3\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 3 = 0$, то есть $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$. Это выполняется, когда $x + \frac{\pi}{3} = 2\pi n$, следовательно, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства: Так как минимальное значение функции равно 0, то $y \ge 0$ для всех $x$. $y > 0$ при $x \ne -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности: Функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$ и убывает на промежутках вида $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы: Наибольшее значение функции $y_{max} = 6$ достигается в точках $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение функции $y_{min} = 0$ достигается в точках $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; 6]$; функция общего вида, периодическая с периодом $T = 2\pi$; нули функции $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $y \ge 0$ при $x \in \mathbb{R}$; возрастает на $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$; убывает на $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$; $y_{max} = 6$ при $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$; $y_{min} = 0$ при $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = |\cos 2x|$

Для построения графика функции $y = |\cos 2x|$ сначала строим график $y = \cos 2x$, который получается из $y=\cos x$ сжатием вдоль оси Ox в 2 раза. Затем часть графика $y=\cos 2x$, лежащую ниже оси абсцисс, симметрично отражаем относительно этой оси.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Поскольку $-1 \le \cos 2x \le 1$, то $0 \le |\cos 2x| \le 1$. Следовательно, $E(y) = [0; 1]$.

3. Периодичность: Период функции $\cos 2x$ равен $\frac{2\pi}{2} = \pi$. При взятии модуля период уменьшается вдвое, поэтому наименьший положительный период $T = \frac{\pi}{2}$.

4. Четность: $y(-x) = |\cos(2(-x))| = |\cos(-2x)| = |\cos 2x| = y(x)$. Функция является четной.

5. Нули функции: $y=0$ при $|\cos 2x| = 0$, то есть $\cos 2x = 0$. Это выполняется, когда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, следовательно, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства: Так как $y = |\cos 2x|$, то $y \ge 0$ для всех $x$. $y > 0$ при $x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}]$ и возрастает на промежутках вида $[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы: Наибольшее значение функции $y_{max} = 1$ достигается в точках $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение функции $y_{min} = 0$ достигается в точках $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; 1]$; функция четная, периодическая с периодом $T = \frac{\pi}{2}$; нули функции $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$; $y \ge 0$ при $x \in \mathbb{R}$; убывает на $[\frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}]$; возрастает на $[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}]$; $y_{max} = 1$ при $x = \frac{\pi n}{2}$; $y_{min} = 0$ при $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.