Номер 20, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (3) Решите уравнения:

а) $|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4$;

б) $||3-x|-x+1|+x=6$.

а) $|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4$

Для решения этого уравнения с несколькими модулями используется метод интервалов. Сначала находим точки, в которых выражения под знаком модуля равны нулю. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, на каждом из которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.

Критические точки:

• $x-1=0 \implies x=1$
• $x-2=0 \implies x=2$
• $x-3=0 \implies x=3$

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$, $[3, +\infty)$. Решим уравнение на каждом из них.

1. Интервал $x < 1$.

На этом интервале все выражения под модулями отрицательны: $x-1<0$, $x-2<0$, $x-3<0$. Раскрываем модули, меняя знак:

$-(x-1) - 2(-(x-2)) + 3(-(x-3)) = 4$

$-x+1 + 2(x-2) - 3(x-3) = 4$

$-x+1 + 2x-4 - 3x+9 = 4$

$-2x + 6 = 4$

$-2x = -2$

$x = 1$

Значение $x=1$ не принадлежит интервалу $x < 1$, поэтому на этом интервале решений нет.

2. Интервал $1 \le x < 2$.

На этом интервале: $x-1 \ge 0$, $x-2 < 0$, $x-3 < 0$. Раскрываем модули:

$(x-1) - 2(-(x-2)) + 3(-(x-3)) = 4$

$x-1 + 2(x-2) - 3(x-3) = 4$

$x-1 + 2x-4 - 3x+9 = 4$

$0 \cdot x + 4 = 4$

$4=4$

Это верное тождество, следовательно, все числа из данного интервала являются решениями. Решение: $x \in [1, 2)$.

3. Интервал $2 \le x < 3$.

На этом интервале: $x-1 > 0$, $x-2 \ge 0$, $x-3 < 0$. Раскрываем модули:

$(x-1) - 2(x-2) + 3(-(x-3)) = 4$

$x-1 - 2x+4 - 3x+9 = 4$

$-4x + 12 = 4$

$-4x = -8$

$x = 2$

Значение $x=2$ принадлежит интервалу $2 \le x < 3$, следовательно, является решением.

4. Интервал $x \ge 3$.

На этом интервале все выражения под модулями неотрицательны. Раскрываем модули:

$(x-1) - 2(x-2) + 3(x-3) = 4$

$x-1 - 2x+4 + 3x-9 = 4$

$2x - 6 = 4$

$2x = 10$

$x = 5$

Значение $x=5$ принадлежит интервалу $x \ge 3$, следовательно, является решением.

Объединим все найденные решения: из второго случая получили интервал $[1, 2)$, из третьего – точку $x=2$, из четвертого – точку $x=5$. Объединение $[1, 2) \cup \{2\}$ дает отрезок $[1, 2]$.

Ответ: $x \in [1, 2] \cup \{5\}$.

б) $||3-x|-|x+1||+x=6$

Сначала преобразуем уравнение. Используем свойство $|a|=| -a|$, поэтому $|3-x|=|x-3|$.

$||x-3|-|x+1||+x=6$

Изолируем внешний модуль:

$||x-3|-|x+1|| = 6-x$

Так как левая часть уравнения (модуль) всегда неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной. Это дает нам ограничение на возможные значения $x$:

$6-x \ge 0 \implies x \le 6$.

Уравнение вида $|A|=B$ равносильно совокупности двух систем: $A=B$ или $A=-B$.

1) $|x-3|-|x+1| = 6-x$

2) $|x-3|-|x+1| = -(6-x) = x-6$

Решим каждое из этих уравнений методом интервалов. Критические точки для внутренних модулей: $x=-1$ и $x=3$.

Решаем уравнение 1: $|x-3|-|x+1| = 6-x$.

• При $x < -1$: $-(x-3) - (-(x+1)) = 6-x \implies -x+3+x+1 = 6-x \implies 4=6-x \implies x=2$. Не входит в интервал $x<-1$.
• При $-1 \le x < 3$: $-(x-3) - (x+1) = 6-x \implies -x+3-x-1 = 6-x \implies -2x+2 = 6-x \implies -x=4 \implies x=-4$. Не входит в интервал $[-1, 3)$.
• При $x \ge 3$: $(x-3) - (x+1) = 6-x \implies x-3-x-1 = 6-x \implies -4=6-x \implies x=10$. Входит в интервал $x \ge 3$, но не удовлетворяет ограничению $x \le 6$.

Первое уравнение не имеет решений.

Решаем уравнение 2: $|x-3|-|x+1| = x-6$.

• При $x < -1$: $-(x-3) - (-(x+1)) = x-6 \implies 4=x-6 \implies x=10$. Не входит в интервал $x<-1$.
• При $-1 \le x < 3$: $-(x-3) - (x+1) = x-6 \implies -2x+2 = x-6 \implies -3x=-8 \implies x=\frac{8}{3}$. Проверяем: $x=\frac{8}{3}$ принадлежит интервалу $[-1, 3)$ и удовлетворяет ограничению $x \le 6$. Следовательно, это корень.
• При $x \ge 3$: $(x-3) - (x+1) = x-6 \implies -4=x-6 \implies x=2$. Не входит в интервал $x \ge 3$.

Единственное решение, полученное из всей совокупности, это $x = \frac{8}{3}$.

Ответ: $x = \frac{8}{3}$.