Номер 4, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (2) Как известно, график функции $y=-\operatorname{tg} x$ получается из графика функции $y=\operatorname{tg} x$ преобразованием P5 (см. Глава 3, п. 4.2). С другой стороны, график функции $y=\operatorname{tg}(-x)$ получается из графика функции $y=\operatorname{tg} x$ преобразованием P6. Объясните, почему в обоих случаях получается один и тот же график.

Вопрос состоит в том, чтобы объяснить, почему два разных геометрических преобразования графика функции $y=\operatorname{tg}x$ приводят к одному и тому же результату.

Преобразование P5: $y = -\operatorname{tg}x$

График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). В нашем случае, для получения графика $y = -\operatorname{tg}x$ из графика $y = \operatorname{tg}x$, мы должны отразить каждую точку графика $y = \operatorname{tg}x$ относительно оси Ox.

Преобразование P6: $y = \operatorname{tg}(-x)$

График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси Oy). Таким образом, для получения графика $y = \operatorname{tg}(-x)$ из графика $y = \operatorname{tg}x$, мы должны отразить каждую точку графика $y = \operatorname{tg}x$ относительно оси Oy.

Объяснение совпадения графиков

Два графика совпадают, если функции, которые они представляют, тождественно равны. Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $-\operatorname{tg}x = \operatorname{tg}(-x)$.

Это равенство является прямым следствием свойства нечетности функции тангенс. Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Функция $y = \operatorname{tg}x$ является нечетной, так как:
$\operatorname{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}$

Поскольку синус — функция нечетная ($\sin(-x) = -\sin x$), а косинус — функция четная ($\cos(-x) = \cos x$), мы получаем:

$\operatorname{tg}(-x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg}x$

Таким образом, тождество $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$ доказано. Это означает, что функции $y = \operatorname{tg}(-x)$ и $y = -\operatorname{tg}x$ — это одна и та же функция. Следовательно, их графики полностью совпадают.

Ответ: В обоих случаях получается один и тот же график, потому что функция тангенс является нечетной. Для нечетной функции по определению выполняется тождество $f(-x) = -f(x)$. В данном случае это означает, что $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$. Таким образом, функции $y = \operatorname{tg}(-x)$ и $y = -\operatorname{tg}x$ являются одной и той же функцией, и их графики совпадают. Геометрически это означает, что для графика нечетной функции (каковым является тангенс) симметрия относительно оси ординат (преобразование P6) эквивалентна симметрии относительно оси абсцисс (преобразование P5).