Номер 11, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (3) При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет корни?

а) $\sin 8x = a$;

б) $\sin x + |\sin x| = a$;

в) $\cos^2 x = a-3$;

г) $\sin 10x = a^2 - 2$.

а) Уравнение имеет вид $f(x) = g(a)$, где $f(x) = \sin(8x)$ и $g(a) = a$. Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда значение правой части (параметра $a$) принадлежит области значений левой части (функции $f(x)$). Область значений функции синус для любого аргумента, $E(\sin t)$, это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для функции $f(x) = \sin(8x)$ область значений также $E(f) = [-1; 1]$. Таким образом, для существования корней необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: $-1 \le a \le 1$.
Ответ: $a \in [-1; 1]$.

б) Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = \sin x + |\sin x|$. Чтобы найти область значений этой функции, необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $\sin x \ge 0$, то по определению модуля $|\sin x| = \sin x$. В этом случае функция принимает вид: $f(x) = \sin x + \sin x = 2\sin x$. Так как в этом случае $0 \le \sin x \le 1$, то значения функции $f(x)$ будут находиться в промежутке $[2 \cdot 0; 2 \cdot 1]$, то есть $[0; 2]$.
2. Если $\sin x < 0$, то по определению модуля $|\sin x| = -\sin x$. В этом случае функция принимает вид: $f(x) = \sin x + (-\sin x) = 0$.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что область значений функции $f(x)$ является объединением множества $\{0\}$ и отрезка $[0; 2]$, что в итоге дает отрезок $E(f) = [0; 2]$. Уравнение имеет корни, если параметр $a$ принадлежит этой области значений, то есть $0 \le a \le 2$.
Ответ: $a \in [0; 2]$.

в) Уравнение имеет вид $\cos^2 x = a - 3$. Рассмотрим функцию в левой части: $f(x) = \cos^2 x$. Известно, что область значений функции косинус $E(\cos x) = [-1; 1]$. При возведении в квадрат любого значения из отрезка $[-1; 1]$, результат будет находиться в отрезке $[0; 1]$. Например, $(\pm 1)^2 = 1$, $0^2=0$, и для любого $t \in (-1; 1)$, $0 \le t^2 < 1$. Следовательно, область значений функции $f(x) = \cos^2 x$ есть $E(f) = [0; 1]$. Уравнение имеет корни, если значение выражения $a-3$ попадает в эту область: $0 \le a - 3 \le 1$. Чтобы найти значения $a$, прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства: $0 + 3 \le a - 3 + 3 \le 1 + 3$, что дает $3 \le a \le 4$.
Ответ: $a \in [3; 4]$.

г) Уравнение имеет вид $\sin(10x) = a^2 - 2$. Область значений функции в левой части, $f(x) = \sin(10x)$, есть отрезок $E(f) = [-1; 1]$. Уравнение будет иметь корни, если значение выражения в правой части, $a^2 - 2$, принадлежит этому отрезку: $-1 \le a^2 - 2 \le 1$. Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно: $$ \begin{cases} a^2 - 2 \ge -1 \\ a^2 - 2 \le 1 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы.
1. $a^2 - 2 \ge -1 \implies a^2 \ge 1$. Решением этого неравенства является объединение лучей $a \le -1$ и $a \ge 1$, то есть $a \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
2. $a^2 - 2 \le 1 \implies a^2 \le 3$. Решением этого неравенства является отрезок $-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$, то есть $a \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.
Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение множеств решений обоих неравенств: $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$. Это пересечение состоит из двух отрезков: $[-\sqrt{3}; -1]$ и $[1; \sqrt{3}]$.
Ответ: $a \in [-\sqrt{3}; -1] \cup [1; \sqrt{3}]$.