Номер 6, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (3) Среди следующих функций определите периодические и укажите их главный период:

a) $f_0(x)=\sin 4x$, $f_1(x)=x+\sin 4x$, $f_2(x)=\frac{23}{\cos 4x\sin 4x}$, $f_3(x)=|\sin x|$;

б) $g_0(x)=45\cos \left(0,5x+\frac{\pi}{4}\right)$, $g_1(x)=-5\cos \left(0,5\pi x+\frac{\pi}{5}\right)$,

$g_2(x)=\cos^2 x$, $g_3(x)=x\cos 5x$;

в) $h_0(x)=\frac{2}{3}\text{tg}^2 x$; $h_1(x)=\frac{2\text{tg}2x}{1-\text{tg}^2 2x}$, $h_2(x)=\frac{4}{x}-\text{tg}3x$.

а)
Рассмотрим каждую функцию:
1. Функция $f_0(x)=\sin(4x)$. Это периодическая функция. Основной период функции $\sin(t)$ равен $2\pi$. Для функции вида $\sin(kx)$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=4$, поэтому главный период $T_0 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
2. Функция $f_1(x)=x+\sin(4x)$. Эта функция является суммой линейной функции $y=x$ (которая не является периодической) и периодической функции $y=\sin(4x)$. Сумма периодической и непериодической функции является непериодической. Если предположить, что функция периодична с периодом $T \neq 0$, то должно выполняться равенство $f_1(x+T)=f_1(x)$. То есть, $(x+T)+\sin(4(x+T)) = x+\sin(4x)$. Отсюда $T = \sin(4x) - \sin(4x+4T)$. Правая часть этого равенства зависит от $x$, в то время как левая часть ($T$) является константой. Это возможно только если правая часть также является константой, что неверно. Следовательно, функция не является периодической.
3. Функция $f_2(x)=\frac{23}{\cos(4x)\sin(4x)}$. Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$. Тогда знаменатель можно преобразовать: $\cos(4x)\sin(4x) = \frac{1}{2}\sin(8x)$. Таким образом, $f_2(x) = \frac{23}{\frac{1}{2}\sin(8x)} = \frac{46}{\sin(8x)}$. Функция $\sin(8x)$ является периодической с главным периодом $T = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, и функция $f_2(x)$ периодическая с тем же главным периодом $T_2 = \frac{\pi}{4}$.
4. Функция $f_3(x)=|\sin x|$. Функция $\sin x$ имеет основной период $2\pi$. Проверим период функции $f_3(x)$: $f_3(x+\pi) = |\sin(x+\pi)| = |-\sin x| = |\sin x| = f_3(x)$. Значит, $\pi$ является периодом. Это наименьший положительный период, так как если предположить существование периода $T \in (0, \pi)$, то для $x=0$ должно выполняться $|\sin(0+T)|=|\sin 0|$, что дает $|\sin T|=0$. Это означает, что $T$ должно быть кратно $\pi$, что противоречит условию $T \in (0, \pi)$. Значит, главный период $T_3 = \pi$.
Ответ: Периодические функции: $f_0(x)=\sin(4x)$ с главным периодом $T_0=\frac{\pi}{2}$; $f_2(x)=\frac{23}{\cos(4x)\sin(4x)}$ с главным периодом $T_2=\frac{\pi}{4}$; $f_3(x)=|\sin x|$ с главным периодом $T_3=\pi$. Непериодическая функция: $f_1(x)=x+\sin(4x)$.

б)
Рассмотрим каждую функцию:
1. Функция $g_0(x)=45\cos(0,5x+\frac{\pi}{4})$. Это периодическая функция. Основной период функции $\cos t$ равен $2\pi$. Для функции вида $\cos(kx+b)$ основной период $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=0,5$, поэтому главный период $T_0 = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi$.
2. Функция $g_1(x)=-5\cos(0,5\pi x+\frac{\pi}{5})$. Аналогично предыдущему пункту, это периодическая функция. Здесь коэффициент при $x$ равен $k=0,5\pi$, поэтому главный период $T_1 = \frac{2\pi}{|0.5\pi|} = \frac{2}{0.5} = 4$.
3. Функция $g_2(x)=\cos^2 x$. Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$. Функция $g_2(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$ является периодической. Ее период определяется периодом функции $\cos(2x)$, который равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Следовательно, главный период $T_2 = \pi$.
4. Функция $g_3(x)=x\cos(5x)$. Эта функция является произведением непериодической функции $y=x$ и периодической функции $y=\cos(5x)$. Такая функция не является периодической. Если предположить, что она периодична с периодом $T \neq 0$, то $(x+T)\cos(5(x+T))=x\cos(5x)$ для всех $x$. При $x=0$ получаем $T\cos(5T)=0$. При $x=\frac{\pi}{10}$ (где $\cos(5x)=0$), получаем $(\frac{\pi}{10}+T)\cos(5(\frac{\pi}{10}+T))=0$, что равносильно $-(\frac{\pi}{10}+T)\sin(5T)=0$. Для $T$, не равного $0$ или $-\frac{\pi}{10}$, из этих двух условий следует, что $\cos(5T)=0$ и $\sin(5T)=0$, что невозможно одновременно, так как $\sin^2(5T)+\cos^2(5T)=1$. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Периодические функции: $g_0(x)=45\cos(0,5x+\frac{\pi}{4})$ с главным периодом $T_0=4\pi$; $g_1(x)=-5\cos(0,5\pi x+\frac{\pi}{5})$ с главным периодом $T_1=4$; $g_2(x)=\cos^2 x$ с главным периодом $T_2=\pi$. Непериодическая функция: $g_3(x)=x\cos(5x)$.

в)
Рассмотрим каждую функцию:
1. Функция $h_0(x)=\frac{2}{3}\operatorname{tg}(\frac{2}{3}x)$. Это периодическая функция. Основной период функции $\operatorname{tg}(t)$ равен $\pi$. Для функции вида $\operatorname{tg}(kx)$ основной период $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\frac{2}{3}$, поэтому главный период $T_0 = \frac{\pi}{2/3} = \frac{3\pi}{2}$.
2. Функция $h_1(x)=\frac{2\operatorname{tg}(2x)}{1-\operatorname{tg}^2(2x)}$. Используем формулу тангенса двойного угла $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}(\alpha)}{1-\operatorname{tg}^2(\alpha)}$. Положив $\alpha=2x$, получаем $h_1(x)=\operatorname{tg}(2 \cdot 2x) = \operatorname{tg}(4x)$. Это периодическая функция с главным периодом $T_1 = \frac{\pi}{4}$.
3. Функция $h_2(x)=\frac{4}{x}-\operatorname{tg}(3x)$. Эта функция является разностью непериодической функции $y=\frac{4}{x}$ (стремится к 0 при $x \to \infty$) и периодической функции $y=\operatorname{tg}(3x)$ (с периодом $\frac{\pi}{3}$). Сумма или разность периодической и непериодической функции является непериодической. Если предположить, что функция периодична с периодом $T$, то этот период должен быть кратен периоду слагаемого $\operatorname{tg}(3x)$, то есть $T=n\frac{\pi}{3}$ для некоторого целого $n \neq 0$. Тогда $\operatorname{tg}(3(x+T))=\operatorname{tg}(3x+3n\frac{\pi}{3})=\operatorname{tg}(3x+n\pi)=\operatorname{tg}(3x)$. Из равенства $h_2(x+T)=h_2(x)$ следует $\frac{4}{x+T}-\operatorname{tg}(3(x+T)) = \frac{4}{x}-\operatorname{tg}(3x)$, то есть $\frac{4}{x+T}-\operatorname{tg}(3x) = \frac{4}{x}-\operatorname{tg}(3x)$. Отсюда $\frac{4}{x+T}=\frac{4}{x}$, что влечет $x+T=x$, а значит $T=0$. Это противоречит определению периода ($T \neq 0$). Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Периодические функции: $h_0(x)=\frac{2}{3}\operatorname{tg}(\frac{2}{3}x)$ с главным периодом $T_0=\frac{3\pi}{2}$; $h_1(x)=\frac{2\operatorname{tg}(2x)}{1-\operatorname{tg}^2(2x)}$ с главным периодом $T_1=\frac{\pi}{4}$. Непериодическая функция: $h_2(x)=\frac{4}{x}-\operatorname{tg}(3x)$.