Номер 13, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (3) В условии указан вид функции $f(x)$, множество ее значений и период. Найдите значения параметров $p, q, r$, если:

a) $f(x) = p \sin rx + q, E(f): [-2;4], T = \frac{\pi}{2};$

б) $f(x) = (p-2)\cos\left(\left(2r+\frac{1}{3}\right)x\right)+|q+1|, E(f): [6;10], T=6\pi.$

а) $f(x) = p\sin(rx)+q$, $E(f):[-2;4]$, $T=\frac{\pi}{2}$

1. Нахождение параметров $p$ и $q$ из множества значений $E(f)$.

Множество значений для функции вида $A\sin(kx)+B$ есть отрезок $[B - |A|, B + |A|]$. В нашем случае амплитуда равна $|p|$, а вертикальный сдвиг равен $q$.

Таким образом, минимальное и максимальное значения функции равны:

$\min(f) = q - |p| = -2$

$\max(f) = q + |p| = 4$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} q + |p| = 4 \\ q - |p| = -2 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:

$(q + |p|) + (q - |p|) = 4 + (-2)$

$2q = 2$

$q = 1$

Подставим значение $q=1$ в первое уравнение:

$1 + |p| = 4$

$|p| = 3$

Это означает, что $p=3$ или $p=-3$.

2. Нахождение параметра $r$ из периода $T$.

Период функции вида $A\sin(kx)+B$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $r$.

По условию $T = \frac{\pi}{2}$, поэтому:

$\frac{2\pi}{|r|} = \frac{\pi}{2}$

Отсюда выразим $|r|$:

$|r| = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$

Это означает, что $r=4$ или $r=-4$.

Ответ: $q=1$, $|p|=3$, $|r|=4$. Например, можно выбрать $p=3, q=1, r=4$.

б) $f(x)=(p-2)\cos\left(\left(2r+\frac{1}{3}\right)x\right)+|q+1|$, $E(f):[6;10]$, $T=6\pi$

1. Нахождение параметров $p$ и $q$ из множества значений $E(f)$.

Функция имеет вид $A\cos(kx)+C$, где амплитуда равна $|A| = |p-2|$, а вертикальный сдвиг $C = |q+1|$.

Множество значений такой функции есть отрезок $[C-|A|; C+|A|]$.

$\min(f) = |q+1| - |p-2| = 6$

$\max(f) = |q+1| + |p-2| = 10$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |q+1| + |p-2| = 10 \\ |q+1| - |p-2| = 6 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:

$(|q+1| + |p-2|) + (|q+1| - |p-2|) = 10 + 6$

$2|q+1| = 16$

$|q+1| = 8$

Отсюда следует, что $q+1=8$ или $q+1=-8$. Значит, $q=7$ или $q=-9$.

Подставим значение $|q+1|=8$ в первое уравнение системы:

$8 + |p-2| = 10$

$|p-2| = 2$

Отсюда следует, что $p-2=2$ или $p-2=-2$. Значит, $p=4$ или $p=0$.

2. Нахождение параметра $r$ из периода $T$.

Период функции $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k$ - коэффициент при $x$. В данном случае $k = 2r+\frac{1}{3}$.

По условию $T = 6\pi$, поэтому:

$\frac{2\pi}{|2r+\frac{1}{3}|} = 6\pi$

Разделим обе части на $2\pi$:

$\frac{1}{|2r+\frac{1}{3}|} = 3$

$|2r+\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$

Это уравнение эквивалентно двум случаям:

Случай 1: $2r+\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \implies 2r = 0 \implies r=0$.

Случай 2: $2r+\frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \implies 2r = -\frac{2}{3} \implies r=-\frac{1}{3}$.

Ответ: Возможные значения параметров: $p \in \{0, 4\}$, $q \in \{7, -9\}$, $r \in \{0, -1/3\}$. Любая комбинация этих значений является решением, например, $p=4, q=7, r=0$.