Номер 17, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17.(2)

Постройте график функции $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$.

Для построения графика функции $y = \tg x \cdot \ctg x$ необходимо последовательно выполнить следующие шаги: найти область определения функции, упростить ее выражение и на основе этого построить график.

1. Нахождение области определения функции (ОДЗ)

Функция $y = \tg x \cdot \ctg x$ определена только в том случае, когда определены оба множителя: $ \tg x $ и $ \ctg x $.

Функция $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $ определена при условии, что ее знаменатель не равен нулю, то есть $ \cos x \neq 0 $. Это выполняется для всех $ x $, кроме $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, $ где $ n \in \mathbb{Z} $.

Функция $ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $ определена при условии, что ее знаменатель не равен нулю, то есть $ \sin x \neq 0 $. Это выполняется для всех $ x $, кроме $ x = \pi k, $ где $ k \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, область определения исходной функции — это все значения $x$, для которых одновременно $ \cos x \neq 0 $ и $ \sin x \neq 0 $. Объединив эти ограничения, получим, что $x$ не может принимать значения вида $ x = \frac{\pi m}{2} $, где $ m $ — любое целое число ($ m \in \mathbb{Z} $).

2. Упрощение функции

На всей найденной области определения справедливо основное тригонометрическое тождество: $ \tg x \cdot \ctg x = 1 $.Следовательно, для всех допустимых значений $x$ функция принимает постоянное значение: $ y = 1 $.

3. Построение графика

Исходя из упрощения, графиком функции является прямая $ y=1 $. Это горизонтальная линия, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку $(0, 1)$.

Однако, из-за ограничений на область определения, на этой прямой должны быть исключены точки, абсциссы которых не входят в ОДЗ. Эти точки, называемые "выколотыми", соответствуют значениям $ x = \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, график функции — это прямая $ y=1 $ с бесконечным множеством выколотых точек, расположенных с шагом $ \frac{\pi}{2} $ вдоль оси $x$. Координаты этих точек: $ (\frac{\pi m}{2}; 1) $, где $ m \in \mathbb{Z} $. Например, это точки с координатами $(\dots, (-\pi; 1), (-\frac{\pi}{2}; 1), (0; 1), (\frac{\pi}{2}; 1), (\pi; 1), \dots)$.

Ответ: Графиком функции $ y = \tg x \cdot \ctg x $ является прямая $ y=1 $ с выколотыми точками вида $ (\frac{\pi m}{2}; 1) $, где $ m \in \mathbb{Z} $.