Номер 24, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

24. (3) При каких значениях параметра a уравнение имеет корни?

а) $\cos\frac{x}{2}=\frac{a}{2}$;

б) $|\cos x|-\cos x=a$;

в) $\sin 3x=\cos a$;

г) $|\sin x|=3a^2+2a$.

а) Уравнение $cos(\frac{x}{2}) = \frac{a}{2}$ является тригонометрическим уравнением вида $cos(t) = C$. Такое уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда значение в правой части принадлежит области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1, 1]$. Аргумент косинуса $\frac{x}{2}$ может принимать любые действительные значения, поэтому область значений функции $y=cos(\frac{x}{2})$ равна $[-1, 1]$. Таким образом, для существования корней должно выполняться двойное неравенство: $-1 \le \frac{a}{2} \le 1$. Умножив все части этого неравенства на 2, получим искомые значения для параметра $a$: $-2 \le a \le 2$.
Ответ: $a \in [-2; 2]$.

б) Рассмотрим левую часть уравнения $f(x) = |cos(x)| - cos(x)$. Необходимо найти область значений этой функции, так как уравнение будет иметь корни только в том случае, если параметр $a$ принадлежит этой области.
1. Если $cos(x) \ge 0$, то по определению модуля $|cos(x)| = cos(x)$. В этом случае выражение равно $f(x) = cos(x) - cos(x) = 0$.
2. Если $cos(x) < 0$, то по определению модуля $|cos(x)| = -cos(x)$. В этом случае выражение равно $f(x) = -cos(x) - cos(x) = -2cos(x)$. Так как в этом случае выполняется условие $-1 \le cos(x) < 0$, то для выражения $-2cos(x)$ мы получаем: $0 < -2cos(x) \le 2$.
Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что область значений функции $f(x) = |cos(x)| - cos(x)$ является объединением множества $\{0\}$ и полуинтервала $(0, 2]$, что дает отрезок $[0, 2]$. Следовательно, уравнение имеет корни при $a \in [0, 2]$.
Ответ: $a \in [0; 2]$.

в) Уравнение $sin(8x) = cos(a)$ можно рассматривать как уравнение вида $sin(t) = C$, где $t = 8x$, а $C = cos(a)$. Такое уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда правая часть $C$ принадлежит области значений синуса, то есть $-1 \le C \le 1$. В нашем случае это означает, что должно выполняться условие $-1 \le cos(a) \le 1$. Это неравенство является верным для любого действительного значения параметра $a$, так как область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, при любом значении $a$ правая часть уравнения будет находиться в пределах от -1 до 1, и уравнение будет иметь корни.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

г) Область значений функции, стоящей в левой части уравнения, $y = |sin(x)|$, есть отрезок $[0, 1]$, так как $sin(x)$ принимает значения от -1 до 1. Следовательно, данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда выражение в правой части принадлежит отрезку $[0, 1]$. Это приводит к системе из двух неравенств: $$ \begin{cases} 3a^2 + 2a \ge 0 \\ 3a^2 + 2a \le 1 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $3a^2 + 2a \ge 0$. Вынесем $a$ за скобки: $a(3a + 2) \ge 0$. Корнями соответствующего уравнения $a(3a+2)=0$ являются $a=0$ и $a=-2/3$. Поскольку ветви параболы $y=3a^2+2a$ направлены вверх, решение неравенства: $a \in (-\infty; -2/3] \cup [0; +\infty)$.
Решим второе неравенство: $3a^2 + 2a \le 1$, или $3a^2 + 2a - 1 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $3a^2 + 2a - 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$. Корни $a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$. Получаем $a_1 = -1$ и $a_2 = 1/3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $a \in [-1; 1/3]$.
Для нахождения итогового решения необходимо найти пересечение множеств, полученных при решении двух неравенств: $( (-\infty; -2/3] \cup [0; +\infty) ) \cap [-1; 1/3]$. Это пересечение состоит из двух отрезков: $[-1; -2/3]$ и $[0; 1/3]$.
Ответ: $a \in [-1; -2/3] \cup [0; 1/3]$.