Номер 25, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

25. (3) В условии указан вид функции $f(x)$ и множество ее значений. Найдите значения параметров $p$ и $q$, если:

а) $f(x)=p\sin(2x+\frac{\pi}{3})+q$, $E(f):[-10;20]$;

б) $f(x)=p|\cos x|+q$, $E(f):[4;12]$.

а)

Область значений функции синус, $y = \sin(\alpha)$, — это отрезок $[-1; 1]$. Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство: $-1 \le \sin(2x+\frac{\pi}{3}) \le 1$.

При умножении на параметр $p$, выражение $p \sin(2x+\frac{\pi}{3})$ будет принимать значения в диапазоне от $-|p|$ до $|p|$. После вертикального сдвига на $q$, вся функция $f(x)$ принимает значения в диапазоне от $-|p|+q$ до $|p|+q$.

Следовательно, область значений $E(f)$ — это отрезок $[-|p|+q; |p|+q]$.

Согласно условию, $E(f) = [-10; 20]$. Приравнивая концы отрезков, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} -|p| + q = -10 \\ |p| + q = 20 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(-|p|+q) + (|p|+q) = -10+20$, что дает $2q=10$, откуда $q=5$.

Подставим значение $q=5$ во второе уравнение: $|p|+5 = 20$, откуда $|p|=15$.

Таким образом, возможные значения для $p$ — это $15$ и $-15$.

Ответ: $q=5$, $p=15$ или $p=-15$.

б)

Область значений функции $y = |\cos x|$ — это отрезок $[0; 1]$. То есть, $0 \le |\cos x| \le 1$.

Рассмотрим два возможных случая для знака параметра $p$.

Случай 1: $p > 0$.

При умножении на положительное число $p$, неравенство сохраняется: $0 \le p|\cos x| \le p$. После сдвига на $q$, область значений функции $f(x)$ становится $[q; p+q]$.

Сопоставляя с заданной областью значений $E(f) = [4; 12]$, получаем систему: $\begin{cases} q=4 \\ p+q=12 \end{cases}$.

Из системы находим $p=12-4=8$. Поскольку $p=8>0$, данная пара значений $(p=8, q=4)$ является решением.

Случай 2: $p < 0$.

При умножении на отрицательное число $p$, знаки неравенства меняются: $p \le p|\cos x| \le 0$. После сдвига на $q$, область значений функции $f(x)$ становится $[p+q; q]$.

Сопоставляя с заданной областью значений $E(f) = [4; 12]$, получаем систему: $\begin{cases} p+q=4 \\ q=12 \end{cases}$.

Из системы находим $p=4-12=-8$. Поскольку $p=-8<0$, данная пара значений $(p=-8, q=12)$ также является решением.

Ответ: $p=8, q=4$ или $p=-8, q=12$.