Номер 28, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

28. (2) Решите уравнения:

а) $(x^2 - 4)\sqrt{x+1} = 0$;

б) $(x^2 + 5x)\sqrt{x-3} = 0$.

а) $(x^2 - 4)\sqrt{x+1} = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл. Это означает, что мы должны решить совокупность уравнений при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под корнем должно быть больше или равно нулю:

$x + 1 \geq 0$

$x \geq -1$

Таким образом, решения уравнения должны принадлежать промежутку $[-1; +\infty)$.

2. Приравняем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: $x^2 - 4 = 0$.

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Второй множитель: $\sqrt{x+1} = 0$.

Возведем обе части в квадрат:

$x+1 = 0$

$x_3 = -1$.

3. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \geq -1$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию ($2 \geq -1$), значит, он является решением уравнения.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < -1$), значит, это посторонний корень.

Корень $x_3 = -1$ удовлетворяет условию ($-1 \geq -1$), значит, он также является решением.

Ответ: $-1; 2$.

б) $(x^2 + 5x)\sqrt{x-3} = 0$

Уравнение представляет собой произведение, равное нулю. Решим его, приравняв каждый множитель к нулю и учтя область допустимых значений.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком корня не может быть отрицательным:

$x - 3 \geq 0$

$x \geq 3$

Решения уравнения должны лежать в промежутке $[3; +\infty)$.

2. Решим уравнения, приравняв каждый множитель к нулю:

Первый множитель: $x^2 + 5x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+5) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = -5$.

Второй множитель: $\sqrt{x-3} = 0$.

Возведем обе части в квадрат:

$x-3 = 0$

$x_3 = 3$.

3. Соотнесем полученные корни с ОДЗ ($x \geq 3$).

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию ($0 < 3$), следовательно, является посторонним корнем.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 3$), следовательно, также является посторонним корнем.

Корень $x_3 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \geq 3$), значит, это единственное решение уравнения.

Ответ: $3$.