Номер 22, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. (3) Укажите множество значений функции $y=f(x)$:

а) $y=\sin\frac{x}{2}$;

б) $y=-3\sin 2x+1$;

в) $y=-|\sin 4x|-10$;

г) $y=\pi \sin^2 4x+6$.

а) Множество значений стандартной функции синус, $y = \sin(t)$, есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ выполняется двойное неравенство $-1 \le \sin(t) \le 1$. В данной функции $y = \sin(\frac{x}{2})$ аргумент $t = \frac{x}{2}$ может принимать любые действительные значения, так как $x$ может быть любым действительным числом. Следовательно, множество значений функции $y = \sin(\frac{x}{2})$ совпадает с множеством значений стандартной функции синуса. Ответ: $[-1, 1]$

б) Для нахождения множества значений функции $y = -3\sin(2x) + 1$ будем исходить из множества значений синуса.
1. Известно, что множество значений функции $\sin(2x)$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x) \le 1$.
2. Умножим все части этого неравенства на $-3$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $(-1) \cdot (-3) \ge -3\sin(2x) \ge 1 \cdot (-3)$, что равносильно $3 \ge -3\sin(2x) \ge -3$, или в стандартном виде $-3 \le -3\sin(2x) \le 3$.
3. Прибавим $1$ ко всем частям неравенства: $-3 + 1 \le -3\sin(2x) + 1 \le 3 + 1$.
4. В результате получаем: $-2 \le y \le 4$.
Таким образом, множество значений функции — это отрезок. Ответ: $[-2, 4]$

в) Найдем множество значений функции $y = -|\sin(4x)| - 10$ последовательными преобразованиями.
1. Множество значений для $\sin(4x)$ есть отрезок $[-1, 1]$.
2. Модуль этого выражения, $|\sin(4x)|$, принимает значения из отрезка $[0, 1]$, так как $|t| \ge 0$ для любого $t$, и максимальное значение $|-1|$ или $|1|$ равно $1$. Итак, $0 \le |\sin(4x)| \le 1$.
3. Умножим неравенство на $-1$, меняя знаки на противоположные: $0 \ge -|\sin(4x)| \ge -1$, что можно записать как $-1 \le -|\sin(4x)| \le 0$.
4. Вычтем $10$ из всех частей неравенства: $-1 - 10 \le -|\sin(4x)| - 10 \le 0 - 10$.
5. Получаем итоговое неравенство: $-11 \le y \le -10$.
Множество значений функции — это отрезок. Ответ: $[-11, -10]$

г) Рассмотрим функцию $y = \pi \sin^2(4x) + 6$.
1. Множество значений для $\sin(4x)$ есть отрезок $[-1, 1]$.
2. При возведении в квадрат любого числа из отрезка $[-1, 1]$ результат будет находиться в отрезке $[0, 1]$. Таким образом, $0 \le \sin^2(4x) \le 1$.
3. Умножим все части неравенства на число $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства сохраняются): $0 \cdot \pi \le \pi \sin^2(4x) \le 1 \cdot \pi$, что дает $0 \le \pi \sin^2(4x) \le \pi$.
4. Прибавим $6$ ко всем частям неравенства: $0 + 6 \le \pi \sin^2(4x) + 6 \le \pi + 6$.
5. В итоге получаем $6 \le y \le \pi + 6$.
Множество значений функции — это отрезок. Ответ: $[6, \pi + 6]$