Номер 15, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (1) Постройте графики функций:

а) $y = \text{ctg } x$

б) $y = \text{ctg } \frac{1}{2}x$

в) $y = 2\text{ctg } \frac{1}{2}x$

г) $y = 2\text{ctg } \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

а) Для построения графика функции $y=\cot x$ (котангенсоида) воспользуемся ее свойствами:
1. Область определения: все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках находятся вертикальные асимптоты графика.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Функция является периодической с основным периодом $T=\pi$.
4. Функция является нечетной: $\cot(-x) = -\cot(x)$. График симметричен относительно начала координат.
5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
6. Функция убывает на каждом из интервалов $( \pi k, \pi(k+1) )$.
Построение:
Сначала строим вертикальные асимптоты $x=0, x=\pi, x=-\pi, \dots$
На основном промежутке $(0, \pi)$ отметим контрольные точки:
- нуль функции: $(\frac{\pi}{2}, 0)$;
- $(\frac{\pi}{4}, 1)$;
- $(\frac{3\pi}{4}, -1)$.
Соединяем точки плавной кривой, которая убывает и стремится к $+\infty$ при $x \to 0^+$ и к $-\infty$ при $x \to \pi^-$.
Затем, используя периодичность, повторяем эту ветвь на других интервалах.
Ответ: Графиком функции является котангенсоида с периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) График функции $y = \cot(\frac{1}{2}x)$ можно получить из графика функции $y = \cot x$ путем преобразований.
Преобразование имеет вид $f(x) \to f(kx)$. В данном случае $k=\frac{1}{2}$. Это преобразование соответствует растяжению графика вдоль оси Ox с коэффициентом $\frac{1}{k} = \frac{1}{1/2} = 2$.
Основные характеристики изменятся следующим образом:
1. Период функции увеличится в 2 раза: $T = 2 \cdot \pi = 2\pi$.
2. Вертикальные асимптоты сместятся. Если у $y=\cot x$ асимптоты были $x = \pi k$, то теперь асимптоты будут находиться в точках, где $\frac{1}{2}x = \pi k$, то есть $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3. Нули функции также сместятся. Если у $y=\cot x$ нули были $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то теперь нули будут в точках, где $\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, чтобы построить этот график, нужно взять график $y = \cot x$ и растянуть его от оси Oy в 2 раза.
Ответ: График функции $y = \cot(\frac{1}{2}x)$ получается из графика функции $y = \cot x$ путем растяжения вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции равен $2\pi$.

в) График функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$ можно получить из графика функции $y = \cot(\frac{1}{2}x)$, построенного в предыдущем пункте.
Преобразование имеет вид $f(x) \to A \cdot f(x)$. В данном случае $A=2$. Это преобразование соответствует растяжению графика вдоль оси Oy с коэффициентом $2$.
1. Период, область определения, положение нулей и вертикальных асимптот не изменяются по сравнению с графиком из пункта б). Период $T = 2\pi$, асимптоты $x = 2\pi k$, нули $x = \pi + 2\pi k$.
2. Каждое значение функции (ординaта) умножается на 2. Например, если точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ принадлежала графику $y = \cot(\frac{1}{2}x)$, то точка $(\frac{\pi}{2}, 2)$ будет принадлежать графику $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$. Аналогично, точка $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перейдет в точку $(\frac{3\pi}{2}, -2)$.
График станет "круче", то есть будет быстрее убывать.
Ответ: График функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$ получается из графика функции $y = \cot(\frac{1}{2}x)$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза.

г) График функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}))$ можно получить из графика функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$, построенного в пункте в).
Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x-c)$. В данном случае $c=\frac{\pi}{3}$. Это преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика вдоль оси Ox на $c$ единиц вправо.
1. Весь график из пункта в) сдвигается вправо на $\frac{\pi}{3}$.
2. Вертикальные асимптоты $x = 2\pi k$ смещаются и становятся $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3. Нули функции $x = \pi + 2\pi k$ смещаются и становятся $x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
4. Период и форма графика остаются такими же, как у функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$.
Ответ: График функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}))$ получается из графика функции $y = 2\cot(\frac{1}{2}x)$ путем сдвига вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ вправо.