Номер 8, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (2) Каждую из следующих функций исследуйте на четность:

а) $f_1(x)=\cos3x$, $f_2(x)=x^3 \cos3x$, $f_3(x)=x^3-\cos3x$, $f_4(x)=\frac{x^3}{\sin3x}$,

$f_5(x)=\cos\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)$;

б) $g_1(x)=5x^3-\operatorname{ctg}x+\operatorname{tg}x^3$, $g_2(x)=\sin^2 5x$,

$g_3(x)=\frac{3}{2+\sin^2 5x}$, $g_4(x)=\sin\sqrt{x}$.

Для исследования функции на четность необходимо проверить два условия:
1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат, то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.
2. Должно выполняться одно из равенств:
- $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция является четной.
- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция является нечетной.
Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

Для функции $f_1(x) = \cos(3x)$.
Область определения $D(f_1) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f_1(-x) = \cos(3(-x)) = \cos(-3x)$. Так как функция косинус является четной, то есть $\cos(-u) = \cos(u)$, получаем $f_1(-x) = \cos(3x) = f_1(x)$. Поскольку $f_1(-x) = f_1(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

Для функции $f_2(x) = x^3 \cos(3x)$.
Область определения $D(f_2) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $f_2(-x)$: $f_2(-x) = (-x)^3 \cos(3(-x)) = -x^3 \cos(3x) = -f_2(x)$. Функция является произведением нечетной функции ($x^3$) и четной функции ($\cos(3x)$), результат — нечетная функция. Поскольку $f_2(-x) = -f_2(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

Для функции $f_3(x) = x^3 - \cos(3x)$.
Область определения $D(f_3) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $f_3(-x)$: $f_3(-x) = (-x)^3 - \cos(3(-x)) = -x^3 - \cos(3x)$. Сравним результат с $f_3(x)$ и $-f_3(x)$: $f_3(-x) \neq f_3(x) = x^3 - \cos(3x)$. $f_3(-x) \neq -f_3(x) = -(x^3 - \cos(3x)) = -x^3 + \cos(3x)$. Функция является разностью нечетной и четной функций, поэтому она не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

Для функции $f_4(x) = \frac{x^3}{\sin(3x)}$.
Область определения $D(f_4)$ задается условием $\sin(3x) \neq 0$, то есть $3x \neq \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi k}{3}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля. Найдем $f_4(-x)$: $f_4(-x) = \frac{(-x)^3}{\sin(3(-x))} = \frac{-x^3}{-\sin(3x)} = \frac{x^3}{\sin(3x)} = f_4(x)$. Функция является частным двух нечетных функций ($x^3$ и $\sin(3x)$), результат — четная функция. Поскольку $f_4(-x) = f_4(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

Для функции $f_5(x) = \cos\left(3x - \frac{\pi}{2}\right)$.
Область определения $D(f_5) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Используя формулу приведения $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\alpha)$, преобразуем функцию: $f_5(x) = \sin(3x)$. Исследуем на четность полученную функцию: $f_5(-x) = \sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x) = -f_5(x)$. Поскольку $f_5(-x) = -f_5(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

Для функции $g_1(x) = 5x^3 - \operatorname{ctg}x + \operatorname{tg}^3x$.
Область определения $D(g_1)$ задается условиями $\sin(x) \neq 0$ и $\cos(x) \neq 0$, что равносильно $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область симметрична относительно нуля. Функция является суммой трех нечетных функций: $5x^3$ (нечетная), $-\operatorname{ctg}x$ (нечетная, так как $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}x$) и $\operatorname{tg}^3x$ (нечетная, как нечетная степень нечетной функции $\operatorname{tg}x$). Сумма нечетных функций есть функция нечетная. Проверим: $g_1(-x) = 5(-x)^3 - \operatorname{ctg}(-x) + (\operatorname{tg}(-x))^3 = -5x^3 - (-\operatorname{ctg}x) + (-\operatorname{tg}x)^3 = -5x^3 + \operatorname{ctg}x - \operatorname{tg}^3x = -(5x^3 - \operatorname{ctg}x + \operatorname{tg}^3x) = -g_1(x)$. Поскольку $g_1(-x) = -g_1(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

Для функции $g_2(x) = \sin^2(5x)$.
Область определения $D(g_2) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $g_2(-x)$: $g_2(-x) = \sin^2(5(-x)) = (\sin(-5x))^2 = (-\sin(5x))^2 = \sin^2(5x) = g_2(x)$. Поскольку $g_2(-x) = g_2(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

Для функции $g_3(x) = \frac{3}{2 + \sin^2(5x)}$.
Область определения $D(g_3) = (-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $2 + \sin^2(5x) > 0$ при любых $x$. Область симметрична относительно нуля. Найдем $g_3(-x)$: $g_3(-x) = \frac{3}{2 + \sin^2(5(-x))} = \frac{3}{2 + (\sin(-5x))^2} = \frac{3}{2 + (-\sin(5x))^2} = \frac{3}{2 + \sin^2(5x)} = g_3(x)$. Поскольку $g_3(-x) = g_3(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

Для функции $g_4(x) = \sin\sqrt{x}$.
Область определения функции задается условием подкоренного выражения: $x \ge 0$. Таким образом, $D(g_4) = [0; +\infty)$. Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $1 \in D(g_4)$, а $-1 \notin D(g_4)$). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.