Номер 3, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (2)

Постройте график функции $y = \operatorname{tg}x \cdot \cos x$.

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg}x \cdot \cos x$ выполним анализ и преобразование функции.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)
Исходная функция содержит $\operatorname{tg}x$, который определяется как отношение $\frac{\sin x}{\cos x}$. Так как деление на ноль не определено, знаменатель $\cos x$ не должен быть равен нулю.Найдем значения $x$, при которых $\cos x = 0$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Следовательно, область определения нашей функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

2. Упрощение функции
На всей области определения, где $\cos x \neq 0$, мы можем упростить исходное выражение:
$y = \operatorname{tg}x \cdot \cos x = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot \cos x = \sin x$.
Это означает, что график функции $y = \operatorname{tg}x \cdot \cos x$ совпадает с графиком функции $y = \sin x$ во всех точках, кроме тех, которые были исключены из ОДЗ.

3. Построение графика и определение "выколотых" точек
График функции представляет собой синусоиду $y = \sin x$, на которой есть "проколы" (выколотые точки) в местах, где $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Чтобы найти координаты этих точек, нужно подставить их абсциссы в упрощенное уравнение $y = \sin x$:
$y = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)$.
В зависимости от четности $k$, значение $y$ будет равно 1 или -1.
Рассмотрим несколько примеров:
- если $k=0$, то $x = \frac{\pi}{2}$, а $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Координаты выколотой точки: $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
- если $k=1$, то $x = \frac{3\pi}{2}$, а $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Координаты выколотой точки: $(\frac{3\pi}{2}, -1)$.
- если $k=-1$, то $x = -\frac{\pi}{2}$, а $y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Координаты выколотой точки: $(-\frac{\pi}{2}, -1)$.
- если $k=-2$, то $x = -\frac{3\pi}{2}$, а $y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$. Координаты выколотой точки: $(-\frac{3\pi}{2}, 1)$.
Таким образом, для построения графика нужно нарисовать синусоиду $y = \sin x$ и отметить на ней пустыми кружочками точки ее локальных максимумов и минимумов.

Ответ: Графиком функции $y = \operatorname{tg}x \cdot \cos x$ является график функции $y = \sin x$ с выколотыми точками, координаты которых $(\frac{\pi}{2} + \pi k, (-1)^k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.