Номер 7, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (3) Для следующих функций определите один из периодов, по возможности, наименьший:

a) $f(x)=\cos 7x+\sin 2x-4;$

б) $g(x)=12\operatorname{tg}\frac{3}{4}x-15\operatorname{ctg}\frac{12}{5}x;$

в) $h(x)=\operatorname{tg} 1,2x \cdot \sin 1,4x.$

а) $f(x) = \cos(7x) + \sin(2x) - 4$

Для нахождения наименьшего положительного периода функции $f(x)$, которая является суммой двух периодических функций и константы, мы должны найти периоды каждого слагаемого.

1. Период функции вида $\cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $\cos(7x)$ наименьший положительный период $T_1$ равен:
$T_1 = \frac{2\pi}{7}$.

2. Период функции вида $\sin(kx)$ также находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $\sin(2x)$ наименьший положительный период $T_2$ равен:
$T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Слагаемое $-4$ является константой, которая не влияет на периодичность функции.

Наименьший положительный период суммы двух периодических функций (если их отношение периодов рационально) равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{2\pi}{7}, \pi)$.

Для нахождения НОК дробей с $\pi$ используем правило для рациональных чисел $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$: $\text{НОК}(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) = \frac{\text{НОК}(a, c)}{\text{НОД}(b, d)}$.
В нашем случае это $\text{НОК}(\frac{2\pi}{7}, \frac{\pi}{1})$.
$T = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{2}{7}, 1) = \pi \cdot \frac{\text{НОК}(2, 1)}{\text{НОД}(7, 1)} = \pi \cdot \frac{2}{1} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

б) $g(x) = 12\text{tg}\frac{3}{4}x - 15\text{ctg}\frac{12}{5}x$

Функция $g(x)$ является разностью двух периодических функций. Найдем их наименьшие положительные периоды.

1. Период функций вида $\text{tg}(kx)$ и $\text{ctg}(kx)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для функции $12\text{tg}(\frac{3}{4}x)$ наименьший положительный период $T_1$ равен:
$T_1 = \frac{\pi}{|\frac{3}{4}|} = \frac{4\pi}{3}$.

2. Для функции $15\text{ctg}(\frac{12}{5}x)$ наименьший положительный период $T_2$ равен:
$T_2 = \frac{\pi}{|\frac{12}{5}|} = \frac{5\pi}{12}$.

Наименьший положительный период разности двух периодических функций равен НОК их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{12})$.

Используем правило для нахождения НОК:
$T = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{4}{3}, \frac{5}{12}) = \pi \cdot \frac{\text{НОК}(4, 5)}{\text{НОД}(3, 12)} = \pi \cdot \frac{20}{3} = \frac{20\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{20\pi}{3}$.

в) $h(x) = \text{tg}\,1,2x \cdot \sin\,1,4x$

Функция $h(x)$ является произведением двух периодических функций. Найдем их наименьшие положительные периоды.

1. Для функции $\text{tg}(1,2x) = \text{tg}(\frac{6}{5}x)$ наименьший положительный период $T_1$ равен:
$T_1 = \frac{\pi}{|1,2|} = \frac{\pi}{6/5} = \frac{5\pi}{6}$.

2. Для функции $\sin(1,4x) = \sin(\frac{7}{5}x)$ наименьший положительный период $T_2$ равен:
$T_2 = \frac{2\pi}{|1,4|} = \frac{2\pi}{7/5} = \frac{10\pi}{7}$.

Период произведения двух периодических функций равен НОК их периодов (в большинстве случаев, включая этот, это будет наименьший положительный период).
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{5\pi}{6}, \frac{10\pi}{7})$.

Используем правило для нахождения НОК:
$T = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{5}{6}, \frac{10}{7}) = \pi \cdot \frac{\text{НОК}(5, 10)}{\text{НОД}(6, 7)} = \pi \cdot \frac{10}{1} = 10\pi$.
Ответ: $10\pi$.