Номер 2, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Постройте график и исследуйте функцию $y = \text{ctg } x$.

Построение графика функции $y = \operatorname{ctg} x$

График функции $y = \operatorname{ctg} x$ называется котангенсоидой. Для его построения воспользуемся основными свойствами функции. Сначала составим таблицу значений для основного промежутка $(0; \pi)$.

Функция не определена в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках график имеет вертикальные асимптоты. При $x \to \pi n^+$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to \pi(n+1)^-$ значение $y \to -\infty$. Функция является периодической с основным периодом $T=\pi$. Используя эти данные, строим график.

Исследование свойств функции $y = \operatorname{ctg} x$

1. Область определения
Функция $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это условие не выполняется при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Область определения $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

2. Множество значений
Функция котангенс может принимать любые действительные значения, от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: Множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Периодичность
Функция является периодической, так как $\operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg}(x)$ для всех $x$ из области определения. Наименьший положительный период функции равен $\pi$.
Ответ: Функция периодическая с основным периодом $T = \pi$.

4. Четность и нечетность
Проверим значение функции для аргумента $-x$: $\operatorname{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\operatorname{ctg} x$. Так как $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат (0,0).
Ответ: Функция нечетная.

5. Нули функции
Функция обращается в нуль, когда ее числитель равен нулю: $\operatorname{ctg} x = 0 \iff \cos x = 0$. Это справедливо для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства
Знак котангенса зависит от знаков синуса и косинуса.
$y > 0$ ($\operatorname{ctg} x > 0$), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют одинаковые знаки (I и III координатные четверти). С учетом периодичности: $x \in (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ ($\operatorname{ctg} x < 0$), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют разные знаки (II и IV координатные четверти). С учетом периодичности: $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Функция положительна на интервалах $(\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$ и отрицательна на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi(n+1))$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания)
Найдем производную функции: $y' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Так как $\sin^2 x > 0$ для всех $x$ из области определения, то производная $y' < 0$ всегда. Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.
Ответ: Функция является убывающей на каждом из интервалов $(\pi n; \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Асимптоты
В точках разрыва $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$, функция стремится к бесконечности, поэтому прямые $x = \pi n$ являются вертикальными асимптотами. Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как функция периодична.
Ответ: Вертикальные асимптоты $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

9. Экстремумы
Так как производная $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ нигде не равна нулю и не меняет знак в области определения, у функции нет точек локального максимума или минимума.
Ответ: Экстремумов нет.