Номер 17, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17.(2) Постройте графики функций:

а) $y=\cos^2 x$;

б) $y=-2\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)-2\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)$.

а) $y = \cos^2 x$

Для построения графика функции $y = \cos^2 x$ преобразуем ее, используя формулу понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Таким образом, наша функция принимает вид: $y = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько шагов, основываясь на графике функции $y = \cos x$:

1. Начнем с графика функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. График $y = \cos(2x)$ получается путем сжатия графика $y = \cos x$ по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. График $y = \frac{1}{2}\cos(2x)$ получается путем сжатия графика $y = \cos(2x)$ по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза. Амплитуда функции уменьшается до $\frac{1}{2}$. Область значений этой функции: $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

4. Итоговый график $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$ получается путем сдвига графика $y = \frac{1}{2}\cos(2x)$ вверх по оси Oy на $\frac{1}{2}$. Область значений функции смещается и становится $[-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}, \frac{1}{2}+\frac{1}{2}] = [0, 1]$.

Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$: при $x=0$, $y = \cos^2(0) = 1$ (максимум); при $x=\frac{\pi}{4}$, $y = \cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$; при $x=\frac{\pi}{2}$, $y = \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ (минимум); при $x=\frac{3\pi}{4}$, $y = \cos^2(\frac{3\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$; при $x=\pi$, $y = \cos^2(\pi) = (-1)^2 = 1$ (максимум).

Ответ: График функции $y = \cos^2 x$ — это косинусоида с периодом $\pi$, колеблющаяся в пределах от 0 до 1. Максимумы функции находятся в точках $x=k\pi$ (где $y=1$), а минимумы — в точках $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ (где $y=0$), где $k$ — любое целое число.

б) $y = -2\cos^2(\frac{\pi}{2} + 2x) - 2\sin^2(\frac{3\pi}{2} - 2x)$

Для построения графика этой функции сначала упростим ее выражение, используя формулы приведения.

1. Упростим первый член $\cos(\frac{\pi}{2} + 2x)$. По формуле приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Следовательно, $\cos(\frac{\pi}{2} + 2x) = -\sin(2x)$.
Тогда $\cos^2(\frac{\pi}{2} + 2x) = (-\sin(2x))^2 = \sin^2(2x)$.

2. Упростим второй член $\sin(\frac{3\pi}{2} - 2x)$. По формуле приведения $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Следовательно, $\sin(\frac{3\pi}{2} - 2x) = -\cos(2x)$.
Тогда $\sin^2(\frac{3\pi}{2} - 2x) = (-\cos(2x))^2 = \cos^2(2x)$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходную функцию:
$y = -2\sin^2(2x) - 2\cos^2(2x)$.

4. Вынесем общий множитель -2 за скобки:
$y = -2(\sin^2(2x) + \cos^2(2x))$.

5. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. В нашем случае $\alpha = 2x$.
$y = -2(1) = -2$.

Таким образом, исходная функция эквивалентна постоянной функции $y = -2$.

Графиком функции $y = -2$ является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ох) и проходящая через точку $(0, -2)$ на оси ординат (оси Оу).

Ответ: Графиком функции является прямая $y=-2$.