Номер 11, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (2) Перерисуйте график функции $y=\cos x$ из пункта 2.1. На одной координатной плоскости последовательно постройте графики функций:

а) $y=-\frac{3}{2}\cos x$;

б) $y=\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$;

в) $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1$;

г) $y=\left|\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right|$.

Для построения графиков указанных функций будем последовательно выполнять преобразования, исходя из графика функции $y=\cos x$.

Исходный график — это $y=\cos x$. Это периодическая функция с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде: максимум в $(0, 1)$, нули в $(\pi/2, 0)$ и $(3\pi/2, 0)$, минимум в $(\pi, -1)$.

а) $y=-\frac{3}{2}\cos x$

Этот график получается из графика $y=\cos x$ двумя последовательными преобразованиями:

1. Растяжение по оси OY: Умножение функции на коэффициент $\frac{3}{2}=1.5$ приводит к растяжению графика от оси OX в 1.5 раза. Амплитуда функции увеличивается до 1.5, а область значений становится $[ -1.5, 1.5 ]$.

2. Симметричное отражение относительно оси OX: Знак «минус» перед функцией отражает график симметрично относительно оси OX. Максимумы становятся минимумами, а минимумы — максимумами.

В результате этих преобразований точка $(0, 1)$ переходит в $(0, -1.5)$, точка $(\pi, -1)$ переходит в $(\pi, 1.5)$. Период функции остается равным $2\pi$.

Ответ: График функции $y=-\frac{3}{2}\cos x$ получается из графика $y=\cos x$ путем растяжения вдоль оси OY с коэффициентом $\frac{3}{2}$ и последующего симметричного отражения относительно оси OX.

б) $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

Этот график получается из графика, построенного в пункте (а), то есть из $y=-\frac{3}{2}\cos x$.

Преобразование представляет собой горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Прибавление константы $\frac{\pi}{4}$ к аргументу функции ($x$) сдвигает график влево на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ предыдущего графика переместится в точку $(x_0 - \frac{\pi}{4}, y_0)$. Например, точка минимума $(0, -1.5)$ сместится в точку $(-\frac{\pi}{4}, -1.5)$, а точка максимума $(\pi, 1.5)$ — в точку $(\pi - \frac{\pi}{4}, 1.5) = (\frac{3\pi}{4}, 1.5)$.

Ответ: График функции $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика $y=-\frac{3}{2}\cos x$ путем сдвига влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$.

в) $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1$

Этот график получается из графика, построенного в пункте (б).

Преобразование представляет собой вертикальный сдвиг. Вычитание 1 из значения всей функции сдвигает график вниз на 1 единицу.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ предыдущего графика переместится в точку $(x_0, y_0 - 1)$. Область значений функции была $[-1.5, 1.5]$, после сдвига она станет $[-1.5 - 1, 1.5 - 1] = [-2.5, 0.5]$. Точка минимума $(-\frac{\pi}{4}, -1.5)$ сместится в $(-\frac{\pi}{4}, -2.5)$, а точка максимума $(\frac{3\pi}{4}, 1.5)$ — в $(\frac{3\pi}{4}, 0.5)$.

Ответ: График функции $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1$ получается из графика $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ путем сдвига вниз вдоль оси OY на 1.

г) $y=\left|-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right|$

Этот график получается из графика, построенного в пункте (в).

Преобразование заключается во взятии модуля (абсолютной величины) от всей функции. Это означает следующее:

1. Та часть графика, которая находится выше или на оси OX (где $y \ge 0$), остается без изменений.

2. Та часть графика, которая находится ниже оси OX (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси OX вверх.

Область значений функции из пункта (в) была $[-2.5, 0.5]$. После взятия модуля все отрицательные значения станут положительными. Новая область значений будет $[0, 2.5]$.

Точки, где график пересекал ось OX, теперь становятся точками минимума, в которых $y=0$. Точки, где был минимум функции (например, $(-\frac{\pi}{4}, -2.5)$), становятся точками максимума (превращаясь в $(-\frac{\pi}{4}, 2.5)$). Точки, где был максимум (например, $(\frac{3\pi}{4}, 0.5)$), остаются локальными максимумами, так как их значение было положительным.

Ответ: График функции $y=\left|-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right|$ получается из графика $y=-\frac{3}{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1$ путем симметричного отражения всей части графика, лежащей ниже оси OX, относительно этой оси.