Номер 9, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. 4. (2)

Для каждой из функций, графики которых построены в задачах 1 – 8, определите множество значений и, если возможно, главный период.

Поскольку конкретные функции из задач 1–8 не были предоставлены, ниже приводится решение для репрезентативного набора функций, который мог бы быть использован в таком задании. Для каждой из этих гипотетических функций мы определим множество значений и, если возможно, главный период.

1. Для гипотетической функции $y = \sin(2x)$.
Множество значений: Стандартная функция синуса $y = \sin(u)$ имеет множество значений $E(y) = [-1, 1]$. Коэффициент 2 при аргументе $x$ влияет на период функции, но не на её амплитуду или вертикальное положение. Следовательно, множество значений для $y = \sin(2x)$ остаётся $[-1, 1]$.
Главный период: Главный период для функции $y = \sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k = 2$, поэтому период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [-1, 1]$; главный период $T = \pi$.

2. Для гипотетической функции $y = \cos(\frac{x}{2})$.
Множество значений: Стандартная функция косинуса $y = \cos(u)$ имеет множество значений $E(y) = [-1, 1]$. Изменение аргумента не влияет на амплитуду, поэтому множество значений для $y = \cos(\frac{x}{2})$ также равно $[-1, 1]$.
Главный период: Главный период для функции $y = \cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Здесь $k = \frac{1}{2}$, поэтому период $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [-1, 1]$; главный период $T = 4\pi$.

3. Для гипотетической функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$.
Множество значений: Функция $\sin(x - \frac{\pi}{4})$ имеет множество значений $[-1, 1]$. Умножение на коэффициент 2 (амплитуду) растягивает график по вертикали, поэтому множество значений для $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$ становится $[-2, 2]$.
Главный период: Фазовый сдвиг $(-\frac{\pi}{4})$ не влияет на период. Коэффициент при $x$ равен 1. Таким образом, главный период совпадает с периодом функции $\sin(x)$ и равен $T = 2\pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [-2, 2]$; главный период $T = 2\pi$.

4. Для гипотетической функции $y = -\cos(x) + 1$.
Множество значений: Множество значений для $\cos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Тогда для $-\cos(x)$ множество значений остаётся $[-1, 1]$. Прибавление 1 сдвигает график на единицу вверх, поэтому множество значений становится $[-1+1, 1+1]$, то есть $[0, 2]$.
Главный период: Ни отражение относительно оси Ox, ни вертикальный сдвиг не влияют на период функции. Период $y = \cos(x)$ равен $2\pi$, следовательно, период данной функции также $T = 2\pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [0, 2]$; главный период $T = 2\pi$.

5. Для гипотетической функции $y = \tan(\frac{x}{3})$.
Множество значений: Стандартная функция тангенса $y = \tan(u)$ имеет множество значений $(-\infty, \infty)$, или $\mathbb{R}$. Преобразования аргумента не влияют на множество значений.
Главный период: Главный период для функции $y = \tan(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. Здесь $k = \frac{1}{3}$, поэтому период $T = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = (-\infty, \infty)$; главный период $T = 3\pi$.

6. Для гипотетической функции $y = \cot(2x)$.
Множество значений: Стандартная функция котангенса $y = \cot(u)$ имеет множество значений $(-\infty, \infty)$, или $\mathbb{R}$. Преобразование аргумента не изменяет множество значений.
Главный период: Главный период для функции $y = \cot(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k = 2$, поэтому период $T = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: множество значений $E(y) = (-\infty, \infty)$; главный период $T = \frac{\pi}{2}$.

7. Для гипотетической функции $y = |\sin(x)|$.
Множество значений: Функция $\sin(x)$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Модуль отображает все значения в неотрицательные, поэтому множество значений для $|\sin(x)|$ — это отрезок $[0, 1]$.
Главный период: Период функции $\sin(x)$ равен $2\pi$. При взятии модуля отрицательная полуволна графика (на интервале $(\pi, 2\pi)$) отражается симметрично относительно оси Ox. В результате получившийся узор повторяется с периодом $\pi$. Таким образом, главный период $T = \pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [0, 1]$; главный период $T = \pi$.

8. Для гипотетической функции $y = \sin(x) + \cos(x)$.
Множество значений: Эту функцию можно преобразовать к виду $y = R\sin(x+\alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Здесь $a=1, b=1$, так что $R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Функция принимает вид $y = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$. Так как множество значений $\sin(u)$ есть $[-1, 1]$, то множество значений для данной функции будет $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Главный период: Период функции $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ равен $2\pi$. Период их суммы будет наименьшим общим кратным их периодов, то есть $2\pi$. Из преобразованного вида $y = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$ также видно, что период $T = 2\pi$.
Ответ: множество значений $E(y) = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$; главный период $T = 2\pi$.