Номер 16, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (3) Постройте графики функций:

а) $y = |\\sin x| - \\sin x$;

б) $y = 2\\sin x + |\\sin x|$;

В) $y = \\frac{2|\\sin x|}{\\sin x}$.

а) Для построения графика функции $y = |\sin x| - \sin x$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Если $\sin x \ge 0$, что соответствует интервалам $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x - \sin x = 0$.
На этих интервалах график функции совпадает с осью абсцисс.

2. Если $\sin x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид:
$y = -\sin x - \sin x = -2\sin x$.
На этих интервалах график представляет собой синусоиду, отраженную относительно оси абсцисс и растянутую в 2 раза по оси ординат. Максимальное значение на таких интервалах равно 2 (например, в точке $x = \frac{3\pi}{2}$).

Итоговый график является периодическим с периодом $2\pi$ и состоит из отрезков прямой $y=0$ и положительных "арок" графика $y=-2\sin x$.

Ответ: График функции $y = |\sin x| - \sin x$ представляет собой кусочную функцию: $y = 0$ при $\sin x \ge 0$ и $y = -2\sin x$ при $\sin x < 0$.

б) Для построения графика функции $y = 2\sin x + |\sin x|$ также рассмотрим два случая.

1. Если $\sin x \ge 0$, то есть для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$, имеем $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид:
$y = 2\sin x + \sin x = 3\sin x$.
На этих интервалах график представляет собой синусоиду, растянутую в 3 раза вдоль оси ординат. Максимальное значение равно 3.

2. Если $\sin x < 0$, то есть для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, имеем $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид:
$y = 2\sin x - \sin x = \sin x$.
На этих интервалах график совпадает с графиком функции $y=\sin x$. Минимальное значение равно -1.

Итоговый график является периодическим с периодом $2\pi$. Он состоит из "арок" графика $y=3\sin x$ на интервалах, где синус неотрицателен, и "арок" графика $y=\sin x$ на интервалах, где синус отрицателен.

Ответ: График функции $y = 2\sin x + |\sin x|$ представляет собой кусочную функцию: $y = 3\sin x$ при $\sin x \ge 0$ и $y = \sin x$ при $\sin x < 0$.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{2|\sin x|}{\sin x}$.

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$ для любого целого $k$. В этих точках на графике будут "выколотые" точки.

Теперь раскроем модуль.

1. Если $\sin x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция упрощается:
$y = \frac{2\sin x}{\sin x} = 2$.

2. Если $\sin x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция упрощается:
$y = \frac{2(-\sin x)}{\sin x} = -2$.

Таким образом, график функции состоит из набора горизонтальных интервалов. На интервалах, где синус положителен, график — это прямая $y=2$. На интервалах, где синус отрицателен, график — это прямая $y=-2$. Концевые точки этих интервалов ($x=\pi k$) не входят в область определения.

Ответ: График функции $y = \frac{2|\sin x|}{\sin x}$ представляет собой кусочно-постоянную функцию: $y = 2$ для всех $x$, где $\sin x > 0$, и $y = -2$ для всех $x$, где $\sin x < 0$. Функция не определена в точках $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.