Номер 18, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (2) Для каждой из функций, графики которых построены в задачах 10 – 17, определите множество значений и, если возможно, главный период.

Поскольку функции из задач 10-17 не предоставлены, в решении будут рассмотрены типичные примеры функций, для которых строят графики на данном этапе изучения математики.

10. Для функции $y = \sin(x)$.
Множество значений: Функция синус представляет собой ординату точки на единичной окружности, которая соответствует углу $x$. Поскольку радиус окружности равен 1, значения ординаты лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Таким образом, множество значений функции $E(y) = [-1, 1]$.
Главный период: Функция синус является периодической, так как значения синуса повторяются при добавлении к аргументу полного оборота, равного $2\pi$ радиан. Наименьшим положительным числом $T$, для которого $\sin(x+T) = \sin(x)$ для любого $x$, является $T = 2\pi$. Это и есть главный период.
Ответ: Множество значений: $[-1, 1]$; главный период: $2\pi$.

11. Для функции $y = \cos(x)$.
Множество значений: Функция косинус представляет собой абсциссу точки на единичной окружности. Аналогично синусу, значения абсциссы лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Таким образом, множество значений функции $E(y) = [-1, 1]$.
Главный период: Как и синус, косинус является периодической функцией с главным периодом $T = 2\pi$, так как значения косинуса повторяются через каждый полный оборот.
Ответ: Множество значений: $[-1, 1]$; главный период: $2\pi$.

12. Для функции $y = \tan(x)$.
Множество значений: Тангенс определяется как отношение $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Когда $x$ приближается к значениям, где $\cos(x)=0$ (например, $x \to \frac{\pi}{2}$), знаменатель стремится к нулю, а числитель к 1 или -1. В результате значение дроби стремится к $+\infty$ или $-\infty$. Таким образом, тангенс может принимать любое действительное значение. Множество значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$.
Главный период: Проверим, является ли $\pi$ периодом: $\tan(x+\pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \tan(x)$. Так как $\pi$ является наименьшим положительным числом, для которого это равенство выполняется, главный период тангенса равен $T = \pi$.
Ответ: Множество значений: $(-\infty, +\infty)$; главный период: $\pi$.

13. Для функции $y = \cot(x)$.
Множество значений: Котангенс определяется как отношение $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$. Когда $x$ приближается к значениям, где $\sin(x)=0$ (например, $x \to 0$ или $x \to \pi$), знаменатель стремится к нулю, и значение дроби стремится к бесконечности. Таким образом, котангенс, как и тангенс, может принимать любое действительное значение. Множество значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$.
Главный период: Аналогично тангенсу, главный период котангенса равен $T = \pi$, поскольку $\cot(x+\pi) = \frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)} = \frac{-\cos(x)}{-\sin(x)} = \cot(x)$.
Ответ: Множество значений: $(-\infty, +\infty)$; главный период: $\pi$.

14. Для функции $y = 2\sin(x) + 1$.
Множество значений: Найдем множество значений поэтапно, исходя из того, что $-1 \le \sin(x) \le 1$.
1. Умножим на 2: $2 \cdot (-1) \le 2\sin(x) \le 2 \cdot 1 \implies -2 \le 2\sin(x) \le 2$.
2. Прибавим 1: $-2 + 1 \le 2\sin(x) + 1 \le 2 + 1 \implies -1 \le y \le 3$.
Таким образом, множество значений $E(y) = [-1, 3]$.
Главный период: Преобразования растяжения по оси $y$ и сдвига вверх не влияют на период функции. Период определяется только преобразованиями аргумента $x$. Так как аргумент остался прежним ($x$), главный период функции $y = 2\sin(x) + 1$ совпадает с периодом функции $y = \sin(x)$ и равен $T = 2\pi$.
Ответ: Множество значений: $[-1, 3]$; главный период: $2\pi$.

15. Для функции $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$.
Множество значений: Независимо от того, какое значение принимает аргумент $(2x - \frac{\pi}{3})$, функция косинус всегда возвращает значения в отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, множество значений $E(y) = [-1, 1]$.
Главный период: Для функции вида $y = A\cos(Bx+C)+D$ главный период находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|B|}$. В данном случае коэффициент при $x$ равен $B=2$. Следовательно, главный период $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
Ответ: Множество значений: $[-1, 1]$; главный период: $\pi$.

16. Для функции $y = |\sin(x)|$.
Множество значений: Функция $\sin(x)$ принимает значения из отрезка $[-1, 1]$. Модуль (абсолютное значение) отображает все отрицательные значения в симметричные им положительные, а неотрицательные оставляет на месте. Таким образом, все значения из $[-1, 0)$ переходят в $(0, 1]$, а значения из $[0, 1]$ остаются на месте. В результате множество значений функции $E(y) = [0, 1]$.
Главный период: График функции $|\sin(x)|$ получается из графика $\sin(x)$ путем отражения частей графика, лежащих ниже оси абсцисс, симметрично относительно этой оси. В результате отрицательные "полуволны" синусоиды становятся положительными. Новый повторяющийся участок графика имеет длину $\pi$. Проверим: $|\sin(x+\pi)| = |-\sin(x)| = |\sin(x)|$. Таким образом, главный период функции $T=\pi$.
Ответ: Множество значений: $[0, 1]$; главный период: $\pi$.

17. Для функции $y = x + \sin(x)$.
Множество значений: Эта функция является суммой линейно возрастающей функции $y=x$ и ограниченной функции $y=\sin(x)$. При $x \to +\infty$, слагаемое $x$ неограниченно растет, а $\sin(x)$ колеблется в пределах $[-1, 1]$, поэтому сумма также стремится к $+\infty$. Аналогично, при $x \to -\infty$, сумма стремится к $-\infty$. Поскольку функция непрерывна, она принимает все промежуточные значения. Множество значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$.
Главный период: Предположим, что функция периодична с периодом $T > 0$. Тогда должно выполняться тождество $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$.
$(x+T) + \sin(x+T) = x + \sin(x)$
$T + \sin(x+T) = \sin(x)$
$T = \sin(x) - \sin(x+T)$
Это равенство должно выполняться для всех $x$. Однако левая часть - это константа $T > 0$, а правая часть зависит от $x$. Например, при $x=0$, $T = \sin(0) - \sin(T) = -\sin(T)$. Уравнение $T = -\sin(T)$ для $T > 0$ не имеет решений. Следовательно, исходное предположение неверно, и функция не является периодической. Определить главный период невозможно.
Ответ: Множество значений: $(-\infty, +\infty)$; функция не является периодической, главный период определить невозможно.