Номер 14, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (3) Постройте графики функций и проведите исследование свойств функций по построенным графикам:

а) $y=2\sin 2x+1$;

б) $y=\sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$;

в) $y=\left|\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right|$.

а) y = 2sin(2x) + 1

Построение графика:
График функции $y = 2\sin(2x) + 1$ получается из графика основной функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований: 1. Сжатие графика вдоль оси Ох в 2 раза. Это преобразование функции $y = \sin x$ в $y = \sin(2x)$. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. 2. Растяжение графика вдоль оси Оу в 2 раза. Это преобразование функции $y = \sin(2x)$ в $y = 2\sin(2x)$. Амплитуда колебаний увеличивается до 2, а область значений становится $[-2, 2]$. 3. Сдвиг графика вверх вдоль оси Оу на 1 единицу. Это преобразование функции $y = 2\sin(2x)$ в $y = 2\sin(2x) + 1$. Ось колебаний смещается на $y=1$, а область значений становится $[-1, 3]$.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для любых действительных значений $x$.

2. Область значений: $E(y) = [-1; 3]$. Это следует из того, что $-1 \le \sin(2x) \le 1$, следовательно $-2 \le 2\sin(2x) \le 2$, и $-1 \le 2\sin(2x) + 1 \le 3$.

3. Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как $y(-x) = 2\sin(-2x) + 1 = -2\sin(2x) + 1 \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.

4. Периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

5. Нули функции: $y=0$ при $2\sin(2x) + 1 = 0$, то есть $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$. Решения: $2x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, откуда $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $\sin(2x) > -\frac{1}{2}$, что соответствует $x \in (-\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{7\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\sin(2x) < -\frac{1}{2}$, что соответствует $x \in (\frac{7\pi}{12} + \pi k; \frac{11\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности:
Функция возрастает, когда ее производная $y' = 4\cos(2x)$ положительна, то есть на промежутках $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда ее производная отрицательна, то есть на промежутках $(\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:
Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение: $y_{max} = 3$.
Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{3\pi}{4} + \pi n$ (при $n=k-1$), $k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение: $y_{min} = -1$.

Ответ: Функция $y = 2\sin(2x) + 1$ — периодическая ($T=\pi$) функция общего вида, определенная на всей числовой оси, с областью значений $[-1, 3]$. Нули функции: $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$. Возрастает на $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, убывает на $(\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$. Точки максимума $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($y_{max}=3$), точки минимума $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$ ($y_{min}=-1$), $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$

Построение графика:
График функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика $y = \sin x$. Удобно представить функцию в виде $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$. 1. Сжатие графика $y = \sin x$ вдоль оси Ох в 2 раза, получаем $y = \sin(2x)$. Период становится $T = \pi$. 2. Сдвиг полученного графика $y = \sin(2x)$ вправо вдоль оси Ох на $\frac{\pi}{6}$. Это преобразование дает итоговый график $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.

3. Четность, нечетность: Функция общего вида, так как $y(-x) = \sin(-2x - \frac{\pi}{3}) = -\sin(2x + \frac{\pi}{3}) \neq \pm y(x)$.

4. Периодичность: Периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

5. Нули функции: $y=0$ при $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$. Решения: $2x - \frac{\pi}{3} = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $x \in (\frac{2\pi}{3} + \pi k; \frac{7\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности:
Производная $y' = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$. Функция возрастает при $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) > 0$, то есть на промежутках $(-\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает при $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) < 0$, то есть на промежутках $(\frac{5\pi}{12} + \pi k; \frac{11\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:
Точки максимума (где $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$): $x_{max} = \frac{5\pi}{12} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение: $y_{max} = 1$.
Точки минимума (где $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -1$): $x_{min} = -\frac{\pi}{12} + \pi k = \frac{11\pi}{12} + \pi n$, $k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение: $y_{min} = -1$.

Ответ: Функция $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ — периодическая ($T=\pi$) функция общего вида, $D(y)=\mathbb{R}$, $E(y)=[-1, 1]$. Нули: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$. Возрастает на $(-\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k)$, убывает на $(\frac{5\pi}{12} + \pi k; \frac{11\pi}{12} + \pi k)$. Точки максимума $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$ ($y_{max}=1$), точки минимума $x = \frac{11\pi}{12} + \pi k$ ($y_{min}=-1$), $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = |\sin(x - \frac{\pi}{4})|$

Построение графика:
График функции $y = |\sin(x - \frac{\pi}{4})|$ получается из графика $y = \sin x$ в два шага: 1. Сдвиг графика $y = \sin x$ вправо вдоль оси Ох на $\frac{\pi}{4}$. Получаем график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$. 2. Применение операции взятия модуля: $y = |\sin(x - \frac{\pi}{4})|$. Часть графика, которая находится ниже оси Ох (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ох вверх.

Исследование свойств функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [0; 1]$, так как модуль — неотрицательная величина, а максимальное значение синуса по модулю равно 1.

3. Четность, нечетность: Функция общего вида, так как $y(-x) = |\sin(-x - \frac{\pi}{4})| = |\sin(x + \frac{\pi}{4})| \neq \pm y(x)$.

4. Периодичность: Функция периодическая. Период функции $y=\sin(x-\frac{\pi}{4})$ равен $2\pi$. При взятии модуля период функции $y=|\sin(ax+b)|$ становится в два раза меньше, поэтому наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

5. Нули функции: $y=0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0$. Решения: $x - \frac{\pi}{4} = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при всех $x$, кроме нулей функции, то есть при $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция не принимает отрицательных значений ($y \ge 0$).

7. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутках $(\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает на промежутках $(\frac{3\pi}{4} + \pi k; \frac{5\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:
Точки максимума (где $|\sin(x - \frac{\pi}{4})| = 1$): $x_{max} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение: $y_{max} = 1$.
Точки минимума (нули функции): $x_{min} = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение: $y_{min} = 0$.

Ответ: Функция $y = |\sin(x - \frac{\pi}{4})|$ — периодическая ($T=\pi$) функция общего вида, $D(y)=\mathbb{R}$, $E(y)=[0, 1]$. Нули: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. Функция неотрицательна. Возрастает на $(\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$, убывает на $(\frac{3\pi}{4} + \pi k; \frac{5\pi}{4} + \pi k)$. Точки максимума $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$ ($y_{max}=1$), точки минимума $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($y_{min}=0$), $k \in \mathbb{Z}$.