Номер 8, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. 3. (2) Постройте графики функций:

а) $y=\sin^2 x$

б) $y=\sin^2 x+\cos^2 x$

а) y=sin²x

Для построения графика функции $y=\sin^2 x$ преобразуем ее, используя тригонометрическую формулу понижения степени: $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) $

Теперь мы можем построить график этой функции, выполнив последовательные преобразования графика функции $y=\cos x$:

1. Начинаем с графика функции $y=\cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$, проходящая через точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Строим график функции $y=\cos(2x)$. Это получается путем сжатия графика $y=\cos x$ по горизонтали (вдоль оси ОХ) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Строим график функции $y=-\frac{1}{2}\cos(2x)$. Для этого график $y=\cos(2x)$ нужно отразить симметрично относительно оси ОХ (из-за знака минус), а затем сжать по вертикали (вдоль оси OY) в 2 раза. Теперь амплитуда колебаний равна $\frac{1}{2}$, а область значений [$-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$].

4. Финальный шаг — построение графика $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$. Для этого необходимо сдвинуть предыдущий график $y=-\frac{1}{2}\cos(2x)$ вверх на $\frac{1}{2}$ единицы.

В результате этих преобразований мы получаем искомый график функции $y=\sin^2 x$.

Основные свойства функции $y=\sin^2 x$:
• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0, 1]$, так как функция всегда неотрицательна.
• Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.
• Четность: функция является четной, так как $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. Ее график симметричен относительно оси OY.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX): $y=0$ при $x=k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Максимумы функции: $y=1$ при $x=\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y=\sin^2 x$ — это периодическая волнистая линия, расположенная в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Она колеблется между 0 и 1 с периодом $\pi$. Свои минимальные значения (0) она достигает в точках $x=k\pi$, а максимальные (1) — в точках $x=\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.

б) y=sin²x+cos²x

Для построения графика этой функции воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что для любого действительного числа $x$: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $

Таким образом, данная функция тождественно равна 1 для всех значений $x$ из области определения. То есть, мы имеем функцию $y=1$.

Область определения этой функции — все действительные числа ($D(y) = (-\infty, +\infty)$), так как выражения $\sin x$ и $\cos x$ определены для всех $x$.

Область значений состоит из одного единственного числа: $E(y) = \{1\}$.

Графиком функции $y=1$ является прямая линия.

Ответ: График функции $y=\sin^2 x + \cos^2 x$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси OX) и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси ординат (оси OY).