Номер 2, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (1) Перерисуйте график функции $y = \cos x$ из пункта 2.2. Используя график функции $y = \cos x$ как основной, постройте графики функций:

а) $y = -\cos x$;

б) $y = \cos x - 2$;

в) $y = |\cos x|$;

г) $y = 2\cos x$;

д) $y = \cos \frac{1}{2} x$.

Для построения графиков заданных функций будем использовать преобразования основного графика функции $y = \cos x$. График $y = \cos x$ — это периодическая кривая (косинусоида) с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой $A = 1$. Область значений функции — отрезок $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

а) $y = -\cos x$

Чтобы построить график функции $y = -\cos x$, нужно выполнить преобразование графика функции $y = \cos x$. Данное преобразование представляет собой симметричное отражение (зеркальное отображение) относительно оси абсцисс (оси Ox). Каждая ордината точки графика умножается на -1, то есть точка $(x, y)$ на графике $y = \cos x$ переходит в точку $(x, -y)$. В результате все части графика, расположенные выше оси Ox, окажутся ниже, а части, расположенные ниже — выше. Максимумы (равные 1) станут минимумами (равными -1), и наоборот. Нули функции (точки пересечения с осью Ox) останутся на своих местах.

Ответ: График функции $y = -\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем его симметричного отражения относительно оси Ox.

б) $y = \cos x - 2$

Для построения графика функции $y = \cos x - 2$ необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = \cos x$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x, y)$ на исходном графике преобразуется в точку $(x, y - 2)$. Ось симметрии графика сместится с $y=0$ на $y=-2$. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1-2, 1-2]$, то есть на $[-3, -1]$. Период и форма графика останутся без изменений.

Ответ: График функции $y = \cos x - 2$ получается из графика $y = \cos x$ путем его сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

в) $y = |\cos x|$

Для построения графика функции $y = |\cos x|$ необходимо преобразовать график $y = \cos x$ следующим образом: все части графика, которые находятся выше или на оси абсцисс (где $\cos x \ge 0$), остаются без изменений. Все части графика, которые находятся ниже оси абсцисс (где $\cos x < 0$), симметрично отражаются относительно оси Ox. В результате новый график будет целиком расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Период функции изменится: исходный период был $2\pi$, а у функции $y = |\cos x|$ период станет равен $\pi$. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[0, 1]$.

Ответ: График функции $y = |\cos x|$ получается из графика $y = \cos x$ путем симметричного отражения всех его частей, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси.

г) $y = 2\cos x$

Для построения графика функции $y = 2\cos x$ необходимо выполнить растяжение графика функции $y = \cos x$ от оси абсцисс (вдоль оси Oy) в 2 раза. Каждая ордината точки графика умножается на 2, то есть точка $(x, y)$ на исходном графике переходит в точку $(x, 2y)$. Амплитуда колебаний увеличится в 2 раза и станет равной 2. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-2, 2]$. Период и нули функции останутся без изменений.

Ответ: График функции $y = 2\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси Oy.

д) $y = \cos \frac{1}{2}x$

Для построения графика функции $y = \cos(\frac{1}{2}x)$ необходимо выполнить растяжение графика функции $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс (от оси Oy) в 2 раза. Коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Период функции изменяется по формуле $T_{new} = \frac{T_{old}}{k}$, где $k = \frac{1}{2}$. Таким образом, новый период будет равен $T_{new} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. График "растягивается" вдвое по горизонтали. Амплитуда и область значений остаются прежними.

Ответ: График функции $y = \cos(\frac{1}{2}x)$ получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси Ox.