Номер 4, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Определите знаки синусов и косинусов углов в зависимости от того, углами какой четверти они являются, используя тригонометрическую окружность.

Материал данного и следующего параграфов чрезвычайно важен для понимания всей тригонометрии. Практически все свойства тригонометрических функций видны как на ладони, необходимо только разобраться с тригонометрической окружностью. Запомните: круг – наш друг.

Рис. 6

Рассмотрим на координатной плоскости с тригонометрической окружностью дополнительную числовую ось, параллельную оси $Oy$. Единица измерения на этой оси равна единице измерения координатной плоскости. Эта ось называется осью тангенсов. Рисунок 7 показывает, как «работает» ось тангенсов. Через точку $M_x$ и начало координат проводится прямая до пересечения с осью тангенсов. Ось тангенсов – числовая, и поэтому точка пересечения соответствует некоторому числу, которое и называется тангенсом угла $x$ и обозначается $\operatorname{tg} x$.

Для определения знаков синуса и косинуса воспользуемся тригонометрической окружностью. Это окружность с радиусом, равным единице ($r=1$), и центром в начале координат. По определению, для любого угла $\alpha$, которому соответствует точка $P(x,y)$ на окружности, её координаты равны косинусу и синусу этого угла: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Таким образом, знак косинуса совпадает со знаком абсциссы ($x$), а знак синуса — со знаком ординаты ($y$). Координатная плоскость разделена на четыре четверти, в каждой из которых знаки координат постоянны.

I четверть

В этой четверти углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ (или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан). Здесь абсцисса ($x$) и ордината ($y$) любой точки положительны. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то и $\cos(\alpha) > 0$, и $\sin(\alpha) > 0$.
Ответ: синус — положительный, косинус — положительный.

II четверть

В этой четверти углы находятся в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$ (или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан). Здесь абсцисса ($x$) отрицательна, а ордината ($y$) положительна. Так как $x < 0$ и $y > 0$, то $\cos(\alpha) < 0$, а $\sin(\alpha) > 0$.
Ответ: синус — положительный, косинус — отрицательный.

III четверть

В этой четверти углы находятся в диапазоне от $180^\circ$ до $270^\circ$ (или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан). Здесь и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) отрицательны. Так как $x < 0$ и $y < 0$, то и $\cos(\alpha) < 0$, и $\sin(\alpha) < 0$.
Ответ: синус — отрицательный, косинус — отрицательный.

IV четверть

В этой четверти углы находятся в диапазоне от $270^\circ$ до $360^\circ$ (или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан). Здесь абсцисса ($x$) положительна, а ордината ($y$) отрицательна. Так как $x > 0$ и $y < 0$, то $\cos(\alpha) > 0$, а $\sin(\alpha) < 0$.
Ответ: синус — отрицательный, косинус — положительный.