Номер 5, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 5

Чему равен $tg \frac{\pi}{2}$?

Попытаемся найти $tg \frac{\pi}{2}$. По определению, проведем прямую через $M_{\frac{\pi}{2}}$ и начало координат – это, оказывается, ось $Oy$. Но ось $Oy$ и ось тангенсов параллельны, и точек пересечения этих прямых попросту нет. «На нет и тангенса нет». Иначе говоря, угол $\frac{\pi}{2}$ не входит в область определения функции $y = tg x$.

Рис. 7

Остается вспомнить, что такое котангенс. Математики древности вместо доказательства очень часто сопровождали свои рисунки короткой надписью «СМОТРИ!». Вот и мы говорим: «СМОТРИ!» (рис. 8).

Числовая прямая, параллельная оси $Ox$ и касающаяся тригонометрической окружности в точке $(0;1)$, называется осью котангенсов (рис. 8).

Рис. 8

Чему равен $tg\frac{\pi}{2}$?

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{2}$ не определено. Это следует как из геометрического, так и из алгебраического определения тангенса.

Геометрическое доказательство, представленное на рисунке, заключается в следующем. Значение тангенса угла $α$ можно найти как ординату ($y$-координату) точки пересечения прямой, проходящей через начало координат и точку $M_α$ на единичной окружности, с осью тангенсов (вертикальная прямая $x=1$).
Для угла $α = \frac{\pi}{2}$ соответствующая точка на единичной окружности $M_{\frac{\pi}{2}}$ имеет координаты $(0, 1)$. Прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и точку $M_{\frac{\pi}{2}}(0, 1)$, совпадает с осью ординат $Oy$, уравнение которой — $x=0$.
Таким образом, для нахождения $tg(\frac{\pi}{2})$ требуется найти точку пересечения оси $Oy$ (прямая $x=0$) и оси тангенсов (прямая $x=1$). Эти две прямые параллельны и не имеют точек пересечения. Следовательно, $tg(\frac{\pi}{2})$ не определен.

Алгебраическое доказательство основывается на формуле $tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)}$. Для угла $α = \frac{\pi}{2}$ имеем $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Подстановка в формулу дает:
$tg(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{0}$
Так как деление на ноль является неопределенной операцией, значение тангенса не существует. Оба подхода приводят к выводу, что угол $\frac{\pi}{2}$ не входит в область определения функции $y=tg(x)$.

Ответ: Значение $tg\frac{\pi}{2}$ не определено.