Номер 4, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4.

(1) Постройте график функции $y=\sin(\pi x)$

(1) Для построения графика функции $y = \sin(\pi x)$ необходимо определить его основные характеристики: период, амплитуду и ключевые точки.

Период и амплитуда.
Функция $y = \sin(\pi x)$ является преобразованием стандартной синусоиды $y = \sin(t)$. Период функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\pi$, поэтому период $T$ равен:
$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
Это означает, что полный цикл колебаний происходит на интервале длиной 2. Графически это соответствует сжатию графика $y=\sin(x)$ по горизонтали (вдоль оси Ox) в $\pi$ раз.
Амплитуда функции равна 1, так как множитель перед синусом равен 1. Область значений функции: $[-1, 1]$.

Ключевые точки.
Найдем ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2]$. Это точки, в которых функция достигает своего максимума, минимума и пересекает ось абсцисс.
- При $x = 0$, $y = \sin(\pi \cdot 0) = \sin(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- Максимум $y=1$ достигается, когда аргумент синуса $\pi x = \frac{\pi}{2}$, то есть при $x = \frac{1}{2}$. Точка $(\frac{1}{2}, 1)$.
- Пересечение с осью $Ox$ (ноль) происходит, когда $\pi x = \pi$, то есть при $x = 1$. Точка $(1, 0)$.
- Минимум $y=-1$ достигается, когда $\pi x = \frac{3\pi}{2}$, то есть при $x = \frac{3}{2}$. Точка $(\frac{3}{2}, -1)$.
- Конец периода при $x = 2$, $y = \sin(\pi \cdot 2) = \sin(2\pi) = 0$. Точка $(2, 0)$.

Построение графика.
Отметив эти пять точек на координатной плоскости и соединив их плавной волнообразной линией (синусоидой), мы получим график функции на одном периоде. Поскольку функция периодическая, этот узор повторяется вдоль всей оси $x$ с шагом 2. Все целочисленные значения $x$ ($...-2, -1, 0, 1, 2...$) являются нулями функции.

Ответ: График функции $y = \sin(\pi x)$ — это синусоида с периодом $T=2$ и амплитудой $A=1$. Область значений функции — отрезок $[-1, 1]$. График получается путем сжатия графика $y=\sin(x)$ вдоль оси $Ox$ в $\pi$ раз. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2]$: $(0,0)$ (начало), $(\frac{1}{2}, 1)$ (максимум), $(1,0)$ (ноль), $(\frac{3}{2}, -1)$ (минимум), $(2,0)$ (конец периода).