Номер 6, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 6

Докажите, что для острых углов $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ данные алгебраические определения тригонометрических функций дают те же значения $\sin x$, $\cos x$, $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$, что и их геометрические определения в прямоугольном треугольнике. Указание: воспользуйтесь тем, что радиус тригонометрической окружности равен 1.

Для доказательства того, что алгебраические и геометрические определения тригонометрических функций для острых углов $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ эквивалентны, воспользуемся тригонометрической (единичной) окружностью с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом $R=1$.

Пусть углу $x$ соответствует точка $M(x_M, y_M)$ на этой окружности. Так как угол $x$ острый, точка $M$ находится в первой координатной четверти, и ее координаты $x_M$ и $y_M$ положительны. Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MP$ на ось абсцисс. Мы получим прямоугольный треугольник $\triangle OPM$ с прямым углом при вершине $P$.

В этом треугольнике:
- гипотенуза $OM$ равна радиусу окружности, то есть $OM = 1$;
- катет $OP$, прилежащий к углу $x$, равен абсциссе точки $M$, то есть $OP = x_M$;
- катет $PM$, противолежащий углу $x$, равен ординате точки $M$, то есть $PM = y_M$.

Теперь сравним два определения для каждой функции.

Алгебраическое определение $sin(x)$ — это ордината точки $M$ на единичной окружности, то есть $sin(x) = y_M$.
Геометрическое определение $sin(x)$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OPM$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $sin(x) = \frac{PM}{OM} = \frac{y_M}{1} = y_M$.
Следовательно, оба определения дают одинаковый результат.

Ответ: Для острого угла $x$ алгебраическое и геометрическое определения $sin(x)$ совпадают и равны $y_M$.

Алгебраическое определение $cos(x)$ — это абсцисса точки $M$ на единичной окружности, то есть $cos(x) = x_M$.
Геометрическое определение $cos(x)$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OPM$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $cos(x) = \frac{OP}{OM} = \frac{x_M}{1} = x_M$.
Следовательно, оба определения дают одинаковый результат.

Ответ: Для острого угла $x$ алгебраическое и геометрическое определения $cos(x)$ совпадают и равны $x_M$.

Алгебраическое определение $tg(x)$ — это отношение синуса к косинусу: $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{y_M}{x_M}$.
Геометрическое определение $tg(x)$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OPM$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $tg(x) = \frac{PM}{OP} = \frac{y_M}{x_M}$.
Следовательно, оба определения дают одинаковый результат.

Ответ: Для острого угла $x$ алгебраическое и геометрическое определения $tg(x)$ совпадают и равны $\frac{y_M}{x_M}$.

Алгебраическое определение $ctg(x)$ — это отношение косинуса к синусу: $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)} = \frac{x_M}{y_M}$.
Геометрическое определение $ctg(x)$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OPM$ — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $ctg(x) = \frac{OP}{PM} = \frac{x_M}{y_M}$.
Следовательно, оба определения дают одинаковый результат.

Ответ: Для острого угла $x$ алгебраическое и геометрическое определения $ctg(x)$ совпадают и равны $\frac{x_M}{y_M}$.