Номер 5, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (3) Постройте графики функций и проведите исследование свойств функций по построенным графикам:

а) $y=2-\sin\frac{x}{2}$;

б) $y=-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$;

в) $y=-2\sin\left|x+\frac{\pi}{3}\right|$.

а) $y = 2 - \sin\frac{x}{2}$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика функции $y=\sin x$.

1. Начнем с графика $y_1 = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Построим график $y_2 = \sin(\frac{1}{2}x)$. Это растяжение графика $y_1$ вдоль оси абсцисс (Ox) в 2 раза. Период функции удваивается и становится равным $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Далее построим $y_3 = -\sin(\frac{x}{2})$. Этот график получается из графика $y_2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (Ox).

4. Наконец, построим итоговый график $y = 2 - \sin(\frac{x}{2})$. Он получается из графика $y_3$ путем сдвига вверх вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы.

Исследование свойств функции по построенному графику:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

2. Область значений: Стандартная область значений для $\sin(\frac{x}{2})$ — это отрезок $[-1; 1]$. Соответственно, для $-\sin(\frac{x}{2})$ область значений такая же, $[-1; 1]$. После сдвига на 2 вверх, область значений становится $[2-1; 2+1] = [1; 3]$. Итак, $E(y) = [1; 3]$.

3. Периодичность: Функция является периодической. Как было определено при построении, основной период функции $T = 4\pi$.

4. Четность/нечетность: Проверим значение функции в точке $-x$: $y(-x) = 2 - \sin(-\frac{x}{2}) = 2 - (-\sin\frac{x}{2}) = 2 + \sin\frac{x}{2}$. Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

5. Нули функции: Чтобы найти нули, решим уравнение $y=0$: $2 - \sin\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \sin\frac{x}{2} = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как синус любой величины не может превышать 1. Следовательно, у функции нет нулей, и ее график не пересекает ось Ox.

6. Промежутки знакопостоянства: Поскольку вся область значений функции $E(y) = [1; 3]$, функция принимает только положительные значения. $y > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

7. Промежутки монотонности:

- Функция возрастает, когда производная $y' = - \cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} > 0$, то есть $\cos(\frac{x}{2}) < 0$. Это выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. Умножив на 2, получаем: $x \in (\pi + 4\pi k; 3\pi + 4\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

- Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\cos(\frac{x}{2}) > 0$. Это выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Умножив на 2, получаем: $x \in (-\pi + 4\pi k; \pi + 4\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:

- Максимумы достигаются, когда $\sin(\frac{x}{2})$ принимает наименьшее значение, то есть -1. $\sin(\frac{x}{2}) = -1 \Rightarrow \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение функции $y_{max} = 2 - (-1) = 3$.

- Минимумы достигаются, когда $\sin(\frac{x}{2})$ принимает наибольшее значение, то есть 1. $\sin(\frac{x}{2}) = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение функции $y_{min} = 2 - 1 = 1$.

Ответ:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: $E(y) = [1; 3]$.

3. Периодична с основным периодом $T = 4\pi$.

4. Функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

5. Нулей нет.

6. $y>0$ на всей области определения.

7. Возрастает на интервалах $(\pi + 4\pi k; 3\pi + 4\pi k)$, убывает на интервалах $(-\pi + 4\pi k; \pi + 4\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Точки максимума $x = -\pi + 4\pi k$ ($y_{max}=3$), точки минимума $x = \pi + 4\pi k$ ($y_{min}=1$), $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$

Сначала упростим выражение, используя свойство нечетности синуса $(\sin(-a) = -\sin a)$:$y = -\frac{1}{2}\sin(- (x - \frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{2}(-\sin(x - \frac{\pi}{3})) = \frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$.

Для построения графика выполним преобразования графика $y=\sin x$:

1. $y_1 = \sin x$ - исходная синусоида.

2. $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ - сдвиг графика $y_1$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

3. $y = \frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$ - сжатие графика $y_2$ вдоль оси Oy в 2 раза. Амплитуда колебаний становится равной $\frac{1}{2}$.

Исследование свойств функции по построенному графику:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: Амплитуда функции равна $\frac{1}{2}$, сдвига по вертикали нет. $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

3. Периодичность: Коэффициент при $x$ равен 1. Функция периодическая с основным периодом $T = 2\pi$.

4. Четность/нечетность: $y(-x) = \frac{1}{2}\sin(-x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\sin(x + \frac{\pi}{3})$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

5. Нули функции: $y=0 \Rightarrow \frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0 \Rightarrow 2\pi k < x - \frac{\pi}{3} < \pi + 2\pi k \Rightarrow x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

- $y < 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0 \Rightarrow \pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2\pi k \Rightarrow x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности:

- Функция возрастает на отрезках, где $\sin(x - \frac{\pi}{3})$ возрастает: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

- Функция убывает на отрезках, где $\sin(x - \frac{\pi}{3})$ убывает: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x \in [\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:

- Максимумы: $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1 \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение $y_{max} = \frac{1}{2}$.

- Минимумы: $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1 \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение $y_{min} = -\frac{1}{2}$.

Ответ:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

3. Периодична с основным периодом $T = 2\pi$.

4. Функция общего вида.

5. Нули функции: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6. $y>0$ при $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$; $y<0$ при $x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

7. Возрастает на $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, убывает на $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

8. Точки максимума $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ ($y_{max}=\frac{1}{2}$), точки минимума $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ ($y_{min}=-\frac{1}{2}$), $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = -2\sin|x + \frac{\pi}{3}|$

Построение графика этой функции основано на преобразованиях с модулем.

1. Рассмотрим функцию $y_1 = -2\sin|x|$. Эта функция четная, так как $y_1(-x) = -2\sin|-x| = -2\sin|x| = y_1(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. При $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=-2\sin x$, а при $x < 0$ является его зеркальным отражением.

2. График функции $y = -2\sin|x + \frac{\pi}{3}|$ получается из графика $y_1 = -2\sin|x|$ сдвигом влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$. Осью симметрии итогового графика будет прямая $x = -\frac{\pi}{3}$.

Исследование свойств функции по построенному графику:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: Аргумент синуса $|x + \frac{\pi}{3}| \ge 0$, поэтому $\sin|x + \frac{\pi}{3}|$ принимает значения из отрезка $[0; 1]$. Умножая на -2, получаем область значений для y: $E(y) = [-2; 0]$.

3. Периодичность: Наличие модуля в аргументе нарушает периодичность. Функция не является периодической.

4. Четность/нечетность: $y(-x) = -2\sin|-x + \frac{\pi}{3}| = -2\sin|x - \frac{\pi}{3}|$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида. Она симметрична относительно прямой $x = -\frac{\pi}{3}$.

5. Нули функции: $y=0 \Rightarrow -2\sin|x + \frac{\pi}{3}| = 0 \Rightarrow \sin|x + \frac{\pi}{3}| = 0$. Это возможно, когда $|x + \frac{\pi}{3}| = \pi k$ для целых $k \ge 0$.

$x + \frac{\pi}{3} = \pm \pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} \pm \pi k$. Это можно записать как $x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(y) = [-2; 0]$, функция неположительна. $y \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. $y < 0$ для всех $x$, не являющихся нулями функции.

7. Промежутки монотонности: Функция возрастает от точек минимума к точкам максимума и убывает от максимумов к минимумам.

- Возрастает на отрезках $[-\frac{5\pi}{6}+2\pi k; -\frac{\pi}{3}+2\pi k]$ и $[\frac{\pi}{6}+2\pi k; \frac{2\pi}{3}+2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

- Убывает на отрезках $[-\frac{\pi}{3}+2\pi k; \frac{\pi}{6}+2\pi k]$ и $[\frac{2\pi}{3}+2\pi k; \frac{7\pi}{6}+2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы:

- Точки максимума (локального) — это нули функции, так как $y \le 0$. $x_{max} = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение $y_{max} = 0$.

- Точки минимума (и глобального, и локального) достигаются, когда $\sin|x + \frac{\pi}{3}|=1$. Это происходит, когда $|x + \frac{\pi}{3}|=\frac{\pi}{2}+2\pi k$. Отсюда $x = -\frac{\pi}{3} \pm (\frac{\pi}{2}+2\pi k)$. Точки минимума: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ и $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение $y_{min} = -2$.

Ответ:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: $E(y) = [-2; 0]$.

3. Непериодическая.

4. Функция общего вида, симметрична относительно прямой $x = -\frac{\pi}{3}$.

5. Нули функции: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

6. $y \le 0$ на всей области определения.

7. Возрастает на $[-\frac{5\pi}{6}+2\pi k; -\frac{\pi}{3}+2\pi k]$ и $[\frac{\pi}{6}+2\pi k; \frac{2\pi}{3}+2\pi k]$; убывает на $[-\frac{\pi}{3}+2\pi k; \frac{\pi}{6}+2\pi k]$ и $[\frac{2\pi}{3}+2\pi k; \frac{7\pi}{6}+2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Точки максимума $x = -\frac{\pi}{3} + \pi m$ ($y_{max}=0$), точки минимума $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ и $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ ($y_{min}=-2$), $m, k \in \mathbb{Z}$.