Номер 7, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. 2. (3) Постройте графики функций:

а) $y=\cos x+|\cos x|$;

б) $y=\cos x-|\cos x|$;

в) $y=\frac{\cos x}{|\cos x|}$.

а) Для построения графика функции $y = \cos x + |\cos x|$ рассмотрим два случая, основанных на определении модуля.
1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. В этом случае функция принимает вид: $y = \cos x + \cos x = 2\cos x$. Условие $\cos x \ge 0$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. В этом случае функция принимает вид: $y = \cos x - \cos x = 0$. Условие $\cos x < 0$ выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, график строится следующим образом: на участках, где график $y = \cos x$ лежит выше или на оси абсцисс, он растягивается в 2 раза вдоль оси ординат. На участках, где график $y = \cos x$ лежит ниже оси абсцисс, он заменяется на отрезок оси абсцисс ($y=0$).
Ответ: График функции представляет собой "положительные полуволны" функции $y = 2\cos x$ на интервалах $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ и отрезки прямой $y=0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для построения графика функции $y = \cos x - |\cos x|$ также рассмотрим два случая.
1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид: $y = \cos x - \cos x = 0$. Это происходит на промежутках $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид: $y = \cos x - (-\cos x) = 2\cos x$. Это происходит на промежутках $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, для построения графика: на участках, где график $y = \cos x$ лежит выше или на оси абсцисс, он заменяется на отрезок оси абсцисс ($y=0$). На участках, где график $y = \cos x$ лежит ниже оси абсцисс, он растягивается в 2 раза вдоль оси ординат (вниз).
Ответ: График функции представляет собой отрезки прямой $y=0$ на интервалах $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ и "отрицательные полуволны" функции $y = 2\cos x$ (с минимальным значением -2) на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Для функции $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, т.е. $|\cos x| \ne 0$, что эквивалентно $\cos x \ne 0$. Следовательно, $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь рассмотрим два случая для раскрытия модуля:
1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$. Это происходит на интервалах $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\cos x}{-\cos x} = -1$. Это происходит на интервалах $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
График этой функции является кусочно-постоянным. Он состоит из горизонтальных линий $y=1$ и $y=-1$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена, что на графике обозначается "выколотыми" точками.
Ответ: График функции состоит из интервалов горизонтальных прямых: $y=1$ на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ и $y=-1$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В точках, где $\cos x = 0$ (т.е. $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$), функция не определена (на графике выколотые точки).