Номер 12, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (3)

Постройте график функции $y=\left|\frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right|$.

Для построения графика функции $y = \left|\frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) - 1\right|$ выполним последовательность преобразований, начиная с графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Шаг 1. Построение графика $y_1 = \sin(x)$
Это основная синусоида. Её ключевые характеристики: период $T = 2\pi$, амплитуда $A=1$, область значений $E(y_1) = [-1, 1]$. График проходит через начало координат $(0,0)$.

Шаг 2. Построение графика $y_2 = \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
Данный график получается из графика $y_1$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $\frac{\pi}{4}$ влево. Этот сдвиг называется фазовым сдвигом. Период и амплитуда остаются прежними: $T=2\pi$, $A=1$. Точка $(0,0)$ с графика $y_1$ перемещается в точку $(-\frac{\pi}{4}, 0)$.

Шаг 3. Построение графика $y_3 = \frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
Этот график получается из графика $y_2$ путем его растяжения от оси $Ox$ вдоль оси ординат ($Oy$) с коэффициентом $\frac{3}{2}$. Амплитуда колебаний увеличивается и становится равной $A=\frac{3}{2}$. Область значений функции теперь $E(y_3) = \left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right]$. Период и фазовый сдвиг не изменяются.

Шаг 4. Построение графика $y_4 = \frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) - 1$
Этот график получается из графика $y_3$ путем его сдвига вдоль оси ординат ($Oy$) на 1 единицу вниз. Ось колебаний смещается с $y=0$ на $y=-1$. Область значений также смещается на 1 вниз: $E(y_4) = \left[-\frac{3}{2}-1, \frac{3}{2}-1\right] = \left[-2.5, 0.5\right]$.
Ключевые точки для этого графика:
Локальные максимумы: $y_{max} = \frac{3}{2} - 1 = 0.5$ при $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Локальные минимумы: $y_{min} = -\frac{3}{2} - 1 = -2.5$ при $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = -1$, то есть при $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) находятся из условия $y_4 = 0$, что дает $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{3}$.

Шаг 5. Построение итогового графика $y = \left|\frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) - 1\right|$
Финальный график получается из графика $y_4$ применением операции взятия модуля. Это означает, что часть графика $y_4$, расположенная ниже оси $Ox$ (где $y_4 < 0$), симметрично отражается относительно оси $Ox$, а остальная часть (где $y_4 \ge 0$) остается без изменений.
В результате получаем:
Область значений итоговой функции: $E(y) = [0, 2.5]$.
Точки, где $y_4=-2.5$, становятся точками глобального максимума, равного $|-2.5| = 2.5$. Эти точки $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$ являются точками излома (острыми вершинами).
Точки, где $y_4=0.5$, остаются точками локального максимума, равного 0.5. Эти точки $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ являются гладкими вершинами.
Точки, где $y_4=0$, становятся точками глобального минимума, равного 0.
Период функции сохраняется и равен $T=2\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = \left|\frac{3}{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) - 1\right|$ необходимо выполнить следующие преобразования графика $y=\sin(x)$: 1) сдвинуть его влево по оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$; 2) растянуть его от оси $Ox$ в $\frac{3}{2}$ раза; 3) сдвинуть его вниз по оси $Oy$ на 1; 4) часть получившегося графика, лежащую под осью $Ox$, симметрично отразить относительно этой оси. Итоговый график является периодической кривой с периодом $T=2\pi$. Область значений функции $[0, 2.5]$. Глобальные максимумы (острые пики) равны $2.5$ и достигаются при $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Локальные максимумы (гладкие вершины) равны $0.5$ и достигаются при $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Глобальные минимумы равны $0$ и достигаются в точках, где $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{3}$.