Номер 10, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (1) Перерисуйте график функции $y=\sin x$ из пункта 2.1. Используя график функции $y=\sin x$ как основной, постройте графики функций:

а) $y=\sin (-x)$;

б) $y=|\sin x|$;

в) $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$;

г) $y=\sin |x|$;

д) $y=-1,5\sin x$.

а) $y=\sin(-x)$

Для построения графика функции $y=\sin(-x)$ используется график $y=\sin x$. Функция синус является нечетной, что означает $\sin(-x) = -\sin x$ для любого значения $x$. Следовательно, задача сводится к построению графика $y=-\sin x$.

Преобразование графика из $y=f(x)$ в $y=-f(x)$ заключается в симметричном отражении относительно оси абсцисс (оси Ox). Таким образом, чтобы получить график $y=\sin(-x)$, нужно взять график $y=\sin x$ и отразить его симметрично относительно оси Ox.

Альтернативно, можно использовать общее правило преобразования $y=f(x)$ в $y=f(-x)$, которое заключается в симметричном отражении графика относительно оси ординат (оси Oy). Для нечетной функции синуса, отражение относительно оси Ox и отражение относительно оси Oy дают один и тот же результат.

Ответ: График функции $y=\sin x$ необходимо симметрично отразить относительно оси абсцисс (Ox).

б) $y=|\sin x|$

Для построения графика функции $y=|\sin x|$ на основе графика $y=\sin x$ применяется преобразование $y=f(x)$ в $y=|f(x)|$.

Согласно этому правилу, та часть графика $y=\sin x$, где $y \ge 0$ (то есть точки, находящиеся на оси Ox или выше неё), остается без изменений. Та часть графика, где $y < 0$ (точки ниже оси Ox), симметрично отражается относительно оси Ox в верхнюю полуплоскость.

В результате все "впадины" синусоиды, находящиеся под осью абсцисс, "выпрямляются" вверх, и весь график функции $y=|\sin x|$ будет располагаться в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Ответ: Части графика $y=\sin x$, находящиеся над осью Ox или на ней, остаются неизменными, а части, находящиеся под осью Ox, симметрично отражаются относительно этой оси.

в) $y=\sin(x+\frac{\pi}{3})$

График функции $y=\sin(x+\frac{\pi}{3})$ получается из графика $y=\sin x$ путем горизонтального сдвига. Это преобразование вида $y=f(x)$ в $y=f(x+a)$.

Если $a > 0$, то график сдвигается влево на $a$ единиц. В нашем случае $a=\frac{\pi}{3}$, поэтому график функции $y=\sin x$ необходимо сместить параллельным переносом вдоль оси абсцисс (Ox) влево на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Например, точка $(0,0)$ на графике $y=\sin x$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{3}, 0)$, а точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ — в точку $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{\pi}{6}, 1)$.

Ответ: График функции $y=\sin x$ необходимо сдвинуть влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

г) $y=\sin|x|$

Для построения графика функции $y=\sin|x|$ на основе графика $y=\sin x$ применяется преобразование $y=f(x)$ в $y=f(|x|)$.

Правило построения такого графика состоит из двух шагов:
1. Сохраняется та часть графика $y=\sin x$, которая соответствует значениям $x \ge 0$ (часть графика в правой полуплоскости, включая точку на оси Oy). Часть графика для $x < 0$ отбрасывается.
2. Сохраненная часть графика симметрично отражается относительно оси ординат (Oy) в левую полуплоскость.

В результате получается график, симметричный относительно оси Oy, то есть функция $y=\sin|x|$ является четной.

Ответ: Часть графика $y=\sin x$ при $x \ge 0$ остается без изменений, а затем эта часть симметрично отражается относительно оси Oy для построения графика при $x < 0$.

д) $y=-1.5\sin x$

Построение графика функции $y=-1.5\sin x$ из графика $y=\sin x$ выполняется в два этапа. Это преобразование вида $y=A \cdot f(x)$, где $A=-1.5$.

Этап 1: Растяжение. Сначала рассмотрим преобразование $y=1.5\sin x$. Это соответствует растяжению графика $y=\sin x$ от оси Ox (вдоль оси Oy) в 1.5 раза. Амплитуда функции увеличивается с 1 до 1.5. Максимальное значение функции становится 1.5, а минимальное -1.5.

Этап 2: Отражение. Далее, знак "минус" в выражении $y=-1.5\sin x$ означает, что график, полученный на первом этапе ($y=1.5\sin x$), необходимо симметрично отразить относительно оси абсцисс (Ox).

Ответ: График функции $y=\sin x$ необходимо сначала растянуть в 1.5 раза вдоль оси Oy, а затем полученный результат отразить симметрично относительно оси Ox.