Номер 3, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

$y = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 8.$

3. (3) Для построения графика функции $y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 3$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика основной функции $y = \cos(x)$.

Сначала преобразуем выражение в аргументе косинуса, вынеся коэффициент 2 за скобки, чтобы явно видеть фазовый сдвиг:
$y = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{6})) + 3$.
Это преобразованная функция косинуса вида $y = A\cos(k(x-C)) + D$, где:
• $A = 2$ – амплитуда (коэффициент растяжения по вертикали).
• $k = 2$ – угловая частота (влияет на период).
• $C = \frac{\pi}{6}$ – фазовый сдвиг (горизонтальное смещение).
• $D = 3$ – вертикальное смещение (смещение средней линии).

Построение графика можно выполнить в несколько этапов:

1. Базовый график $y_1 = \cos(x)$.
Это стандартная косинусоида. Её период равен $2\pi$, амплитуда — 1, область значений — $[-1, 1]$. График проходит через ключевые точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$.

2. Сжатие по оси Ox.
Переходим к функции $y_2 = \cos(2x)$. Коэффициент $k=2$ при $x$ вызывает сжатие графика $y_1$ по горизонтали в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Горизонтальный (фазовый) сдвиг.
Строим график функции $y_3 = \cos(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Это сдвиг графика $y_2$ вправо по оси Ox на величину $C = \frac{\pi}{6}$. Например, точка максимума, которая была в $x=0$, теперь находится в $x = \frac{\pi}{6}$.

4. Вертикальное растяжение.
Переходим к функции $y_4 = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Коэффициент $A=2$ перед косинусом растягивает график $y_3$ по вертикали в 2 раза. Амплитуда колебаний становится равной 2, а область значений — $[-2, 2]$.

5. Вертикальный сдвиг.
Наконец, строим итоговый график $y = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{6})) + 3$. Свободный член $D=3$ сдвигает график $y_4$ вверх на 3 единицы. Средняя линия графика теперь проходит через $y=3$. Область значений функции становится $[-2+3, 2+3]$, то есть $[1, 5]$.

Свойства итоговой функции $y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 3$:
• Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: $[1, 5]$.
• Период: $T = \pi$.
• Амплитуда: $A = 2$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{6}$ вправо.
• Вертикальный сдвиг: на 3 единицы вверх.

Для точного построения найдем координаты ключевых точек одного периода:
Один полный цикл косинусоиды начинается с максимума, проходит через минимум и возвращается к максимуму. Аргумент косинуса при этом изменяется от $0$ до $2\pi$.
1. Точка максимума (начало периода): $2x - \frac{\pi}{3} = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}$. При этом $y = 2\cos(0) + 3 = 5$. Точка: $(\frac{\pi}{6}, 5)$.
2. Точка пересечения со средней линией: $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \implies 2x = \frac{5\pi}{6} \implies x = \frac{5\pi}{12}$. При этом $y = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + 3 = 3$. Точка: $(\frac{5\pi}{12}, 3)$.
3. Точка минимума: $2x - \frac{\pi}{3} = \pi \implies 2x = \frac{4\pi}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3}$. При этом $y = 2\cos(\pi) + 3 = 1$. Точка: $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.
4. Точка пересечения со средней линией: $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \implies 2x = \frac{11\pi}{6} \implies x = \frac{11\pi}{12}$. При этом $y = 2\cos(\frac{3\pi}{2}) + 3 = 3$. Точка: $(\frac{11\pi}{12}, 3)$.
5. Следующая точка максимума (конец периода): $2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi \implies 2x = \frac{7\pi}{3} \implies x = \frac{7\pi}{6}$. При этом $y = 2\cos(2\pi) + 3 = 5$. Точка: $(\frac{7\pi}{6}, 5)$.

Чтобы построить график, нужно нанести эти ключевые точки на координатную плоскость и соединить их плавной линией, имеющей форму косинусоиды. Затем этот фрагмент графика можно периодически продолжить влево и вправо с периодом $\pi$.

Ответ: График функции $y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 3$ представляет собой косинусоиду, полученную из графика $y=\cos(x)$ следующими преобразованиями: сжатие по оси абсцисс в 2 раза (период стал $T=\pi$), сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$, растяжение по оси ординат в 2 раза (амплитуда стала $A=2$) и сдвиг вверх на 3 единицы. Область значений функции — $[1, 5]$. Ключевые точки одного из периодов: точки максимума $(\frac{\pi}{6}, 5)$ и $(\frac{7\pi}{6}, 5)$, точка минимума $(\frac{2\pi}{3}, 1)$, точки пересечения со средней линией $y=3$ — $(\frac{5\pi}{12}, 3)$ и $(\frac{11\pi}{12}, 3)$.