Номер 1, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (2) Перерисуйте график функции $y=\sin x$ из пункта 2.1. На одной координатной плоскости последовательно постройте графики функций:

а) $y=\sin 2x$;

б) $y=\sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$;

в) $y=2\sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$;

г) $y=2\sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+3$.

Для построения графиков указанных функций будем выполнять последовательные геометрические преобразования, исходя из графика базовой функции $y=\sin x$.

Исходный график — синусоида $y=\sin x$. Её основные характеристики: период $T=2\pi$, амплитуда $A=1$, область значений $E(y) = [-1; 1]$.

а) $y=\sin 2x$

Чтобы построить график функции $y=\sin 2x$, необходимо выполнить преобразование графика $y=\sin x$. Данное преобразование относится к типу $f(x) \to f(kx)$. В нашем случае коэффициент $k=2$. Это означает, что нужно сжать график исходной функции $y=\sin x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. При этом период функции уменьшится в 2 раза: $T_1 = \frac{T}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Амплитуда и область значений останутся без изменений: $A_1=1$, $E(y) = [-1; 1]$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=\sin x$ перейдет в точку $(\frac{x_0}{2}, y_0)$ на новом графике.

Ответ: График функции $y=\sin 2x$ получается из графика $y=\sin x$ путем сжатия вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции равен $\pi$.

б) $y=\sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$

Чтобы построить график этой функции, возьмем за основу график, полученный в предыдущем пункте, то есть $y=\sin 2x$. Преобразование имеет вид $g(x) \to g(x-c)$, где $g(x) = \sin 2x$ и $c=\frac{\pi}{6}$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика $y=\sin 2x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо. Период, амплитуда и область значений при таком сдвиге не изменяются: $T_2=T_1=\pi$, $A_2=A_1=1$, $E(y) = [-1; 1]$. Каждая точка $(x_1, y_1)$ графика $y=\sin 2x$ перейдет в точку $(x_1 + \frac{\pi}{6}, y_1)$ на новом графике.

Ответ: График функции $y=\sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика $y=\sin 2x$ путем сдвига вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ вправо.

в) $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$

Сначала преобразуем аргумент синуса в функции из пункта б): $2\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 2x - \frac{2\pi}{6} = 2x - \frac{\pi}{3}$. Таким образом, функция из пункта б) имеет вид $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$. Чтобы из ее графика получить график функции $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$, необходимо выполнить преобразование вида $h(x) \to a \cdot h(x)$, где $h(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ и коэффициент $a=2$. Это означает, что нужно растянуть график из предыдущего пункта вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. В результате амплитуда функции увеличится в 2 раза: $A_3 = A_2 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$. Область значений также изменится: $E(y) = [-1 \cdot 2; 1 \cdot 2] = [-2; 2]$. Период останется прежним: $T_3=T_2=\pi$. Каждая точка $(x_2, y_2)$ графика $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ перейдет в точку $(x_2, 2y_2)$ на новом графике.

Ответ: График функции $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ (построенного в пункте б) путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза. Амплитуда функции равна 2, область значений [−2; 2].

г) $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+3$

Для построения этого графика необходимо взять за основу график из предыдущего пункта, $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$, и выполнить преобразование вида $p(x) \to p(x)+d$. В данном случае $p(x)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ и $d=3$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ вдоль оси ординат (оси Oy) на 3 единицы вверх. Амплитуда и период при этом не изменятся: $A_4=A_3=2$, $T_4=T_3=\pi$. Область значений сдвинется вверх на 3 единицы: $E(y) = [-2+3; 2+3] = [1; 5]$. Каждая точка $(x_3, y_3)$ графика $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ перейдет в точку $(x_3, y_3+3)$ на итоговом графике.

Ответ: График функции $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+3$ получается из графика $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ путем сдвига вдоль оси Oy на 3 единицы вверх. Область значений функции [1; 5].