Номер 2, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Найдите координаты точек $M_0$, $M_{\frac{\pi}{2}}$, $M_{\pi}$, $M_{\frac{3\pi}{2}}$, $M_{4\pi}$ на координатной плоскости $xOy$. Не забудьте, что радиус окружности равен 1.

Окружность, которую мы сейчас рассматриваем, называется тригонометрической окружностью. На ее основе определяются все тригонометрические функции. Мы будем обозначать эту окружность $\omega$.

Там, где это не вызывает разночтений, вместо обозначений $M_x$, $M_{\frac{\pi}{2}}$, $M_{\frac{3\pi}{2}}'$ ... мы будем использовать на окружности обозначения $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $x$ ... .

Для нахождения координат точек на тригонометрической окружности, которая представляет собой окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат $(0, 0)$, мы используем связь между углом и декартовыми координатами. Координаты $(x, y)$ точки $M_t$, соответствующей углу $t$ (измеренному в радианах от положительного направления оси Ox против часовой стрелки), определяются формулами:
$x = \cos(t)$
$y = \sin(t)$

$M_0$
Эта точка соответствует углу $t = 0$ радиан. Найдем ее координаты:
$x = \cos(0) = 1$
$y = \sin(0) = 0$
Точка $M_0$ находится на положительной части оси абсцисс.
Ответ: $(1, 0)$

$M_{\frac{\pi}{2}}$
Эта точка соответствует углу $t = \frac{\pi}{2}$ радиан (или 90°). Найдем ее координаты:
$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Точка $M_{\frac{\pi}{2}}$ находится на положительной части оси ординат.
Ответ: $(0, 1)$

$M_{\pi}$
Эта точка соответствует углу $t = \pi$ радиан (или 180°). Найдем ее координаты:
$x = \cos(\pi) = -1$
$y = \sin(\pi) = 0$
Точка $M_{\pi}$ находится на отрицательной части оси абсцисс.
Ответ: $(-1, 0)$

$M_{\frac{3\pi}{2}}$
Эта точка соответствует углу $t = \frac{3\pi}{2}$ радиан (или 270°). Найдем ее координаты:
$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$
Точка $M_{\frac{3\pi}{2}}$ находится на отрицательной части оси ординат.
Ответ: $(0, -1)$

$M_{4\pi}$
Эта точка соответствует углу $t = 4\pi$ радиан. Поскольку тригонометрические функции имеют период $2\pi$, то угол $4\pi$ соответствует двум полным оборотам по окружности ($4\pi = 0 + 2 \cdot 2\pi$). Следовательно, точка $M_{4\pi}$ совпадает с точкой $M_0$.
$x = \cos(4\pi) = \cos(0) = 1$
$y = \sin(4\pi) = \sin(0) = 0$
Точка $M_{4\pi}$ совпадает с точкой $M_0$.
Ответ: $(1, 0)$