Номер 20, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (2)

$y = |2 - |1 - |x|||$

(2) Для построения графика функции $y = |2 - |1 - |x|||$ можно использовать метод последовательных графических преобразований или метод раскрытия модулей. Рассмотрим оба подхода.

I. Метод последовательных преобразований

Построение будет выполняться в несколько шагов, начиная с простейшего графика.

Шаг 1. Построение графика функции $y_1 = |x|$
Это базовый график модуля, который представляет собой две прямые, выходящие из начала координат: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$.

Шаг 2. Построение графика функции $y_2 = 1 - |x|$
Этот график получается из $y_1 = |x|$ в два этапа:
1. Отражение графика $y_1$ относительно оси Ox, чтобы получить $y = -|x|$. График переворачивается, образуя перевернутую V-образную "галочку" с вершиной в $(0, 0)$.
2. Сдвиг полученного графика вверх на 1 единицу, чтобы получить $y_2 = 1 - |x|$. Вершина графика смещается в точку $(0, 1)$. График пересекает ось Ox в точках, где $1 - |x| = 0$, то есть при $|x| = 1$, что соответствует точкам $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

Шаг 3. Построение графика функции $y_3 = |1 - |x||$
Этот график получается из $y_2 = |1 - |x||$ применением операции взятия модуля ко всей функции. Это означает, что часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox, симметрично отражается относительно этой оси, а часть, которая находится выше или на оси, остается без изменений.
- На интервале $[-1, 1]$ график $y_2$ неотрицателен, поэтому он не меняется.
- На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$ график $y_2$ отрицателен, поэтому эта часть отражается относительно оси Ox.
В результате получается график, имеющий W-образную форму с локальным максимумом в точке $(0, 1)$ и минимумами в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

Шаг 4. Построение графика функции $y_4 = 2 - |1 - |x||$
Этот график получается из $y_3 = |1 - |x||$ в два этапа:
1. Отражение графика $y_3$ относительно оси Ox, чтобы получить $y = -|1 - |x||$. W-образный график переворачивается и становится M-образным. Вершины теперь в точках $(-1, 0)$, $(0, -1)$ и $(1, 0)$.
2. Сдвиг полученного графика вверх на 2 единицы: $y_4 = 2 - |1 - |x||$. Весь M-образный график сдвигается вверх. Новые координаты ключевых точек: локальные максимумы в $(-1, 2)$ и $(1, 2)$, и локальный минимум в $(0, 1)$.
Найдем точки пересечения графика $y_4$ с осью Ox: $2 - |1 - |x|| = 0 \implies |1 - |x|| = 2$. Это равенство распадается на два: $1 - |x| = 2$ (решений нет, так как $|x| = -1$) и $1 - |x| = -2$ (дает $|x|=3$, то есть $x = \pm 3$). Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

Шаг 5. Построение итогового графика $y = |2 - |1 - |x|||$
Это финальное преобразование. Мы берем модуль от функции $y_4 = 2 - |1 - |x||$. Часть графика $y_4$, которая находится ниже оси Ox, отражается вверх, а остальная часть остается на месте.
- Мы выяснили, что $y_4 \ge 0$ при $x \in [-3, 3]$ и $y_4 < 0$ при $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
- На отрезке $[-3, 3]$ итоговый график $y$ совпадает с графиком $y_4$. Он состоит из трех отрезков, соединяющих точки $(-3, 0)$, $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(3, 0)$.
- Вне отрезка $[-3, 3]$ (т.е. при $|x|>3$) график $y_4$ был ниже оси Ox, поэтому он отражается относительно этой оси. Вместо лучей, уходящих в минус бесконечность, мы получаем лучи, уходящие в плюс бесконечность, начинающиеся в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

II. Метод раскрытия модулей (аналитический)

Функция $y = f(x) = |2 - |1 - |x|||$ является четной, так как $f(-x) = |2 - |1 - |-x||| = |2 - |1 - |x||| = f(x)$. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.
При $x \ge 0$, исходная функция принимает вид $y = |2 - |1 - x||$. Раскроем внутренний модуль:
1. Если $0 \le x \le 1$, то $1-x \ge 0$, и $|1-x|=1-x$. Функция принимает вид $y = |2 - (1-x)| = |1+x|$. Так как на этом отрезке $1+x > 0$, то $y = 1+x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$.
2. Если $x > 1$, то $1-x < 0$, и $|1-x|=-(1-x)=x-1$. Функция принимает вид $y = |2 - (x-1)| = |3-x|$. Раскроем оставшийся модуль:
а) Если $1 < x \le 3$, то $3-x \ge 0$, и $y = 3-x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 2)$ и $(3, 0)$.
б) Если $x > 3$, то $3-x < 0$, и $y = -(3-x) = x-3$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ с угловым коэффициентом 1.
Построив график для $x \ge 0$ и отразив его относительно оси Oy, мы получим полный график функции.

Ответ: График функции $y = |2 - |1 - |x|||$ представляет собой ломаную линию, симметричную относительно оси Oy. Он имеет следующие ключевые точки (вершины ломаной):
- Точки пересечения с осью Ox (глобальные минимумы на этих лучах): $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.
- Локальные максимумы: $(-1, 2)$ и $(1, 2)$.
- Локальный минимум на оси Oy: $(0, 1)$.
График состоит из двух лучей и трех отрезков. Уравнения участков ломаной:
- $y = -x-3$ при $x < -3$
- $y = x+3$ при $x \in [-3, -1]$
- $y = 1-x$ при $x \in [-1, 0]$
- $y = 1+x$ при $x \in [0, 1]$
- $y = 3-x$ при $x \in [1, 3]$
- $y = x-3$ при $x > 3$
Визуально график напоминает корону или букву 'M', у которой "ножки" согнуты вверх в точках пересечения с осью абсцисс.