Номер 15, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (2) Используя график функции $f(x) = \left| \frac{6-2|x|}{|x|} \right|$ из задачи 13 найдите количество корней уравнения $f(x) = p$ в зависимости от $p$.

Для решения задачи необходимо определить количество корней уравнения $f(x) = p$ в зависимости от параметра $p$. Это эквивалентно нахождению числа точек пересечения графика функции $f(x) = \frac{|6-2|x||}{|x|}$ с горизонтальной прямой $y=p$.

1. Анализ функции и построение ее графика.

Область определения функции $D(f)$: $x \neq 0$. Функция является четной, поскольку $f(-x) = \frac{|6-2|-x||}{|-x|} = \frac{|6-2|x||}{|x|} = f(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (OY). Это позволяет нам исследовать функцию только для $x > 0$, а затем симметрично отразить график.

При $x > 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = \frac{|6-2x|}{x}$. Раскроем модуль в числителе, рассмотрев два случая для $x>0$:

а) Если $6-2x \ge 0$, то есть $2x \le 6 \implies x \le 3$. С учетом условия $x>0$, получаем интервал $0 < x \le 3$. На этом интервале $|6-2x| = 6-2x$, и функция равна: $f(x) = \frac{6-2x}{x} = \frac{6}{x} - 2$.

б) Если $6-2x < 0$, то есть $x > 3$. На этом интервале $|6-2x| = -(6-2x) = 2x-6$, и функция равна: $f(x) = \frac{2x-6}{x} = 2 - \frac{6}{x}$.

Таким образом, для $x > 0$ функция задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x} - 2, & 0 < x \le 3 \\ 2 - \frac{6}{x}, & x > 3 \end{cases}$

Исследуем ключевые особенности графика для $x > 0$:
- Поведение при $x \to 0^+$: $f(x) = \frac{6}{x} - 2 \to +\infty$. Прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой.
- Поведение при $x \to +\infty$: $f(x) = 2 - \frac{6}{x} \to 2$. Прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой.
- На интервале $(0, 3)$ производная $f'(x) = -\frac{6}{x^2} < 0$, значит, функция убывает.
- На интервале $(3, +\infty)$ производная $f'(x) = \frac{6}{x^2} > 0$, значит, функция возрастает.
- В точке $x=3$ функция достигает своего минимума на $(0, +\infty)$: $f(3) = 0$.

График для $x>0$ начинается от $+\infty$ вблизи оси OY, убывает до точки $(3, 0)$, а затем возрастает, приближаясь снизу к асимптоте $y=2$. В силу четности, график для $x<0$ симметричен, имеет минимум в точке $(-3, 0)$ и те же асимптоты.

2. Определение количества корней уравнения $f(x)=p$.

Проанализируем количество точек пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=p$ для различных значений $p$.
- При $p < 0$: Прямая $y=p$ находится ниже оси OX. Поскольку $f(x) \ge 0$ для всех $x$, пересечений нет.
- При $p = 0$: Прямая $y=0$ касается графика в двух точках минимума: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$. Таким образом, уравнение имеет 2 корня.
- При $0 < p < 2$: Прямая $y=p$ пересекает каждую из двух ветвей графика (для $x>0$ и $x<0$) в двух точках: на участке убывания и на участке возрастания. Всего 4 точки пересечения, следовательно, 4 корня.
- При $p = 2$: Прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой. Найдем точки пересечения, решив уравнение $f(x)=2$: $\frac{|6-2|x||}{|x|} = 2 \implies |6-2|x|| = 2|x|$. Это уравнение распадается на два: $6-2|x| = 2|x|$ или $6-2|x| = -2|x|$. Из первого получаем $4|x|=6$, то есть $|x|=1.5$, что дает два корня $x_1 = 1.5$ и $x_2 = -1.5$. Второе уравнение, $6=0$, не имеет решений. Следовательно, при $p=2$ уравнение имеет 2 корня.
- При $p > 2$: Прямая $y=p$ пересекает каждую из двух ветвей, уходящих на бесконечность вблизи оси OY, ровно в одной точке. Следовательно, уравнение имеет 2 корня.

Ответ:
при $p < 0$ корней нет;
при $p = 0$ — 2 корня;
при $0 < p < 2$ — 4 корня;
при $p \ge 2$ — 2 корня.